EXERCICE 3: \( \begin{array}{ll}1: \text { Simplifier ces expressions en utilisant la relation de Chasles } \\ \vec{u}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{C M}+\overrightarrow{C F}-\overrightarrow{M D}-\overrightarrow{A B} & \vec{v}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{F E}-\overrightarrow{A F} \\ \vec{w}=-\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{R B}-\overrightarrow{M A}-(\overrightarrow{D G}-\overrightarrow{D R}) & \stackrel{t}{=}=\overrightarrow{E D}-\overrightarrow{F C}+\overrightarrow{C A}-\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D C}-\overrightarrow{A E}\end{array} \)

Pour simplifier les expressions données en utilisant la relation de Chasles, nous allons procéder étape par étape pour chaque vecteur. ### Expression pour \( \vec{u} \) \[ \vec{u} = \overrightarrow{A D} - \overrightarrow{C M} + \overrightarrow{C F} - \overrightarrow{M D} - \overrightarrow{A B} \] 1. **Réécriture des vecteurs** : Utilisons la relation de Chasles, qui stipule que pour deux points \( X \) et \( Y \), on a \( \overrightarrow{X Y} = \overrightarrow{X Z} + \overrightarrow{Z Y} \) pour un point \( Z \) quelconque. 2. **Regroupons les vecteurs** : - On peut réécrire \( -\overrightarrow{M D} \) comme \( -\overrightarrow{M C} + \overrightarrow{C D} \). - Ainsi, on a : \[ \vec{u} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{C F} + \overrightarrow{C D} - \overrightarrow{C M} - \overrightarrow{A B} \] 3. **Simplification** : En regroupant les termes similaires, nous obtenons : \[ \vec{u} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{C F} + \overrightarrow{C D} - \overrightarrow{C M} - \overrightarrow{A B} \] ### Expression pour \( \vec{v} \) \[ \vec{v} = \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{E D} + \overrightarrow{B D} - \overrightarrow{F E} - \overrightarrow{A F} \] 1. **Regroupons les vecteurs** : - On peut réécrire \( \overrightarrow{B D} \) comme \( \overrightarrow{B E} + \overrightarrow{E D} \). - Ainsi, on a : \[ \vec{v} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B E} - \overrightarrow{F E} - \overrightarrow{A F} \] 2. **Simplification** : En regroupant les termes similaires, nous obtenons : \[ \vec{v} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B E} - \overrightarrow{F E} - \overrightarrow{A F} \] ### Expression pour \( \vec{w} \) \[ \vec{w} = -\overrightarrow{G M} + \overrightarrow{R B} - \overrightarrow{M A} - (\overrightarrow{D G} - \overrightarrow{D R}) \] 1. **Réécriture des vecteurs** : - On peut réécrire \( -(\overrightarrow{D G} - \overrightarrow{D R}) \) comme \( -\overrightarrow{D G} + \overrightarrow{D R} \). - Ainsi, on a : \[ \vec{w} = -\overrightarrow{G M} + \overrightarrow{R B} - \overrightarrow{M A} - \overrightarrow{D G} + \overrightarrow{D R} \] 2. **Simplification** : En regroupant les termes similaires, nous obtenons : \[ \vec{w} = -\overrightarrow{G M} - \overrightarrow{D G} + \overrightarrow{R B} - \overrightarrow{M A} + \overrightarrow{D R} \] ### Expression pour \( t \) \[ t = \overrightarrow{E D} - \overrightarrow{F C} + \overrightarrow{C A} - \overrightarrow{F A} + \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{D C} - \overrightarrow{A E} \] 1. **Regroupons les vecteurs** : - On peut réécrire certains vecteurs pour simplifier l'expression. - En regroupant les termes similaires, nous avons : \[ t = \overrightarrow{E D} + \overrightarrow{D C} - \overrightarrow{A E} - \overrightarrow{F C} + \overrightarrow{C A} - \overrightarrow{F A} + \overrightarrow{A C} \] 2. **Simplification** : En regroupant les termes similaires, nous obtenons : \[ t = \overrightarrow{E D} + \overrightarrow{D C} - \overrightarrow{A E} - \overrightarrow{F C} + \overrightarrow{C A} - \overrightarrow{F A} + \overrightarrow{A C} \] ### Conclusion Les expressions simplifiées sont : - \( \vec{u} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{C F} + \overrightarrow{C D} - \overrightarrow{C M} - \overrightarrow{A B} \) - \( \vec{v} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B E} - \overrightarrow{F E} - \overrightarrow{A F} \) - \( \vec{w} = -\overrightarrow{G M} - \overrightarrow{D G} + \overrightarrow{R B} - \overrightarrow{M A} + \overrightarrow{D R} \) - \( t = \overrightarrow{E D} + \overrightarrow{D C} - \overrightarrow{A E} - \overrightarrow{F C} + \overrightarrow{C A} - \overrightarrow{F A} + \overrightarrow{A C} \)