\begin{tabular}{l} Quiz 3. Sia \( a_{n}=\sin (n \pi x) \), allora \\ a. \( x \in \mathbb{Q} \) implica \( \exists \max \left\{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right\} \) \\ b. \( x \in \mathbb{Q} \) implica \( \lim \sup _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=1 \) \\ c. \( x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \) implica \( \left\{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right\} \) è denso in \( [-1,1 \) \\ \hline\end{tabular}

**Analisi del problema** Definiamo \( a_n = \sin(n \pi x) \). Si considerano tre casi a seconda di \( x \). --- **Caso (a): \( x \in \mathbb{Q} \) implica che esiste un massimo tra \(\{a_n : n \in \mathbb{N}\}\).** Sia \( x = \frac{p}{q} \) con \( p,q \in \mathbb{Z} \), \( q > 0 \) e frazione ridotta al minimo. In questo caso: - L'argomento di \(\sin\) è \( n \pi x = \frac{n \pi p}{q} \). - L'insieme degli angoli \(\frac{n p}{q}\pi\) modulo \(2\pi\) assume solamente valori in un insieme finito, poiché all'aumentare di \( n \) si ha una ripetizione periodica. - Quindi i valori \( a_n \) sono presi da un insieme finito, per cui esiste un valore massimo \( M \) tale che \( M = \max\{a_n : n \in \mathbb{N}\} \). Pertanto, l'affermazione (a) è vera. --- **Caso (b): \( x \in \mathbb{Q} \) implica \( \limsup_{n \to +\infty} a_n = 1 \).** Nel caso precedente, essendo \( x \) razionale, la successione \( \{a_n\} \) è periodica e assume solo un numero finito di valori. - Se tra questi valori il massimo \( M \) risulta essere pari a \( 1 \), allora \( \limsup_{n \to \infty} a_n = 1 \). - Tuttavia, non è sempre vero che il massimo raggiunto dalla successione sia \( 1 \). Ad esempio, prendi \( x=\frac{1}{3} \). Allora \[ a_n = \sin\left(n \pi \frac{1}{3}\right), \] e i valori periodici sono: \[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(\pi)=0, \quad \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(2\pi)=0. \] Quindi il massimo tra questi valori è \( \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1 \). Pertanto, l'affermazione (b) non è verificabile in generale ed è falsa. --- **Caso (c): \( x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \) implica che \(\{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) è denso in \([-1,1]\).** Quando \( x \) è irrazionale: - L'insieme degli angoli \( \{n \pi x \mod 2\pi : n \in \mathbb{N}\} \) è denso in \( [0,2\pi] \); questo è un risultato classico legato al teorema di equidistribuzione. - Essendo la funzione \(\sin\) continua e bassa in \([-1,1]\), l'immagine via \(\sin\) di un insieme denso in \( [0,2\pi] \) è densa in \([-1,1]\). Quindi l'affermazione (c) è vera. --- **Conclusione finale** - (a) VERO - (b) FALSO - (c) VERO