3 Calcular la minima distancia de la recta que pasa por los puntos \( (2 / 7,3) \) y \( (-2,11) \) al punto \( (- \) \( 3,-5) \) \( \begin{array}{ll}\text { a) } \frac{5}{\sqrt{31}} & \text { b) } \frac{30}{\sqrt{51}} \\ \text { c) } \frac{25}{\sqrt{31}} & \text { d) } \frac{35}{\sqrt{51}}\end{array} \)

Para calcular la mínima distancia de un punto a una recta, primero necesitamos encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(2/7, 3) \) y \( B(-2, 11) \). ### Paso 1: Encontrar la pendiente de la recta La pendiente \( m \) de la recta que pasa por dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) se calcula con la fórmula: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Sustituyendo los puntos \( A(2/7, 3) \) y \( B(-2, 11) \): \[ m = \frac{11 - 3}{-2 - (2/7)} = \frac{8}{-2 - 2/7} \] Primero, simplificamos el denominador: \[ -2 - \frac{2}{7} = -\frac{14}{7} - \frac{2}{7} = -\frac{16}{7} \] Ahora, sustituimos en la fórmula de la pendiente: \[ m = \frac{8}{-\frac{16}{7}} = 8 \cdot -\frac{7}{16} = -\frac{56}{16} = -\frac{7}{2} \] ### Paso 2: Encontrar la ecuación de la recta Usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Usando el punto \( A(2/7, 3) \): \[ y - 3 = -\frac{7}{2}\left(x - \frac{2}{7}\right) \] Multiplicamos y simplificamos: \[ y - 3 = -\frac{7}{2}x + 1 \] \[ y = -\frac{7}{2}x + 4 \] ### Paso 3: Calcular la distancia del punto \( P(-3, -5) \) a la recta La fórmula para la distancia \( d \) de un punto \( (x_0, y_0) \) a la recta \( Ax + By + C = 0 \) es: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Primero, reescribimos la ecuación de la recta en la forma \( Ax + By + C = 0 \): \[ \frac{7}{2}x + y - 4 = 0 \implies 7x + 2y - 8 = 0 \] Aquí, \( A = 7 \), \( B = 2 \), y \( C = -8 \). Sustituyendo \( P(-3, -5) \): \[ d = \frac{|7(-3) + 2(-5) - 8|}{\sqrt{7^2 + 2^2}} \] \[ = \frac{|-21 - 10 - 8|}{\sqrt{49 + 4}} = \frac{|-39|}{\sqrt{53}} = \frac{39}{\sqrt{53}} \] ### Paso 4: Comparar con las opciones Las opciones dadas son: \[ \begin{array}{ll} \text { a) } \frac{5}{\sqrt{31}} & \text { b) } \frac{30}{\sqrt{51}} \\ \text { c) } \frac{25}{\sqrt{31}} & \text { d) } \frac{35}{\sqrt{51}} \end{array} \] La distancia calculada es \( \frac{39}{\sqrt{53}} \). Sin embargo, parece que no coincide con las opciones dadas. Vamos a verificar si hay algún error en los cálculos o si se puede simplificar. ### Paso 5: Verificación Revisamos los cálculos y confirmamos que la distancia es correcta. Sin embargo, parece que no hay coincidencia con las opciones. Por lo tanto, la respuesta correcta no está entre las opciones proporcionadas. La distancia mínima desde el punto \( (-3, -5) \) a la recta es \( \frac{39}{\sqrt{53}} \).