\( \frac { ( x ^ { 2 } - 7 x + 12 ) \cdot \log _ { x - 2 } ( x - 3 ) \ln ( 1 x - 6 ) ^ { 2 } ) } { 2 x ^ { 2 } - 11 x + 14 } \leq 0 \)

Давайте решим неравенство: \[ \frac { ( x ^ { 2 } - 7 x + 12 ) \cdot \log _ { x - 2 } ( x - 3 ) \ln ( 1 x - 6 ) ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } - 11 x + 14 } \leq 0 \] ### Шаг 1: Упрощение выражения Сначала упростим числитель и знаменатель. **Числитель:** 1. \( x^2 - 7x + 12 \) можно разложить на множители: \[ x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) \] 2. \( \log_{x - 2}(x - 3) \) определен, когда \( x - 2 > 0 \) и \( x - 3 > 0 \), то есть \( x > 3 \). 3. \( \ln((1x - 6)^2) = 2 \ln(x - 6) \) определен, когда \( x - 6 > 0 \), то есть \( x > 6 \). Таким образом, числитель будет: \[ (x - 3)(x - 4) \cdot \log_{x - 2}(x - 3) \cdot 2 \ln(x - 6) \] **Знаменатель:** 1. \( 2x^2 - 11x + 14 \) можно разложить на множители: \[ 2x^2 - 11x + 14 = (2x - 7)(x - 2) \] ### Шаг 2: Условия для определения знака Теперь у нас есть следующее неравенство: \[ \frac{(x - 3)(x - 4) \cdot \log_{x - 2}(x - 3) \cdot 2 \ln(x - 6)}{(2x - 7)(x - 2)} \leq 0 \] ### Шаг 3: Определение нулей и знаков 1. **Нули числителя:** - \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \) - \( x - 4 = 0 \) → \( x = 4 \) - \( \log_{x - 2}(x - 3) = 0 \) → \( x - 3 = 1 \) → \( x = 4 \) (уже учтено) - \( \ln(x - 6) = 0 \) → \( x - 6 = 1 \) → \( x = 7 \) 2. **Нули знаменателя:** - \( 2x - 7 = 0 \) → \( x = \frac{7}{2} = 3.5 \) - \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \) ### Шаг 4: Интервалы и знаки Теперь определим интервалы, в которых мы будем проверять знак выражения: - \( (-\infty, 2) \) - \( (2, 3) \) - \( (3, 3.5) \) - \( (3.5, 4) \) - \( (4, 6) \) - \( (6, 7) \) - \( (7, \infty) \) Теперь проверим знак в каждом из этих интервалов. ### Шаг 5: Проверка знаков Проверим знак выражения в каждом интервале. 1. **Интервал \( (2, 3) \)**: - Числитель: отрицательный (так как \( x < 3 \)) - Знаменатель: положительный - Результат: отрицательный 2. **Интервал \( (3, 3.5) \)**: - Числитель: положительный (так как \( x > 3 \)) - Знаменатель: положительный - Результат: положительный 3. **Интервал \( (3.5, 4) \)**: - Числитель: положительный - Знаменатель: отрицательный - Результат: отрицательный 4. **Интервал \( (4, 6) \)**: - Числитель: положительный - Знаменатель: отрицательный - Результат: отрицательный 5. **Интервал \( (6, 7) \)**: - Числитель: положительный - Знаменатель: положительный - Результат: положительный 6. **Интервал \( (7, \infty) \)**: - Числитель: положительный - Знаменатель: положительный - Результат: положительный ### Шаг 6: Итог Теперь мы можем записать решение неравенства: \[ x \in (2, 3) \cup (3.5, 4] \cup (6, 7] \] Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (2, 3) \cup (3.5, 4] \cup (6, 7] \]