240. Ugotovite, ali je dana premica tangenta krožnice. a) $$ x+2 y+6=0, x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+8=0 $$ b) $$ 3 x+4 y-35=0,(x-2)^{2}+(y-1)^{2}-25=0 $$ c) $$ 5 x-12 y=4, x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+1=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Da bi ugotovili, ali je dana premica tangenta krožnice, moramo preveriti, ali se premica dotika krožnice. To lahko storimo tako, da izračunamo razdaljo od središča krožnice do premice in jo primerjamo z radijem krožnice.

1. **Za krožnico** $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ je središče $$(-D/2, -E/2)$$ in radij $$r = \sqrt{(D/2)^2 + (E/2)^2 - F}$$.

2. **Za premico** $$Ax + By + C = 0$$ je razdalja od točke $$(x_0, y_0)$$ do premice dana z izrazom:
   $$
   d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
   $$

3. Premica je tangenta krožnici, če je razdalja $$d$$ enaka radiju $$r$$.

Sedaj bomo to metodo uporabili za vsako od danih nalog.

### a) $$ x + 2y + 6 = 0, \quad x^2 + y^2 - 6x - 4y + 8 = 0 $$

1. **Krožnica**: Preoblikujemo v standardno obliko.
   $$
   x^2 - 6x + y^2 - 4y + 8 = 0
   $$
   $$
   (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = 5
   $$
   $$
   (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5
   $$
   Središče: $$(3, 2)$$, radij: $$r = \sqrt{5}$$.

2. **Premica**: $$A = 1, B = 2, C = 6$$.

3. Izračunamo razdaljo:
   $$
   d = \frac{|1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|3 + 4 + 6|}{\sqrt{5}} = \frac{13}{\sqrt{5}}
   $$

4. Primerjamo $$d$$ in $$r$$:
   $$
   d \neq r \quad \text{(torej ni tangenta)}
   $$

### b) $$ 3x + 4y - 35 = 0, \quad (x - 2)^2 + (y - 1)^2 - 25 = 0 $$

1. **Krožnica**: Preoblikujemo v standardno obliko.
   $$
   (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25
   $$
   Središče: $$(2, 1)$$, radij: $$r = 5$$.

2. **Premica**: $$A = 3, B = 4, C = -35$$.

3. Izračunamo razdaljo:
   $$
   d = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - 35|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 4 - 35|}{5} = \frac{25}{5} = 5
   $$

4. Primerjamo $$d$$ in $$r$$:
   $$
   d = r \quad \text{(torej je tangenta)}
   $$

### c) $$ 5x - 12y = 4, \quad x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 $$

1. **Krožnica**: Preoblikujemo v standardno obliko.
   $$
   x^2 - 2x + y^2 - 2y + 1 = 0
   $$
   $$
   (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0
   $$
   Središče: $$(1, 1)$$, radij: $$r = 0$$.

2. **Premica**: $$A = 5, B = -12, C = -4$$.

3. Izračunamo razdaljo:
   $$
   d = \frac{|5 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 4|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|5 - 12 - 4|}{13} = \frac{11}{13}
   $$

4. Primerjamo $$d$$ in $$r$$:
   $$
   d \neq r \quad \text{(torej ni tangenta)}
   $$

### Zaključek:
- a) ni tangenta
- b) je tangenta
- c) ni tangenta
- a) Not a tangent - b) Is a tangent - c) Not a tangent

240. Ugotovite, ali je dana premica tangenta krožnice. a) \( x+2 y+6=0, x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+8=0 \) b) \( 3 x+4 y-35=0,(x-2)^{2}+(y-1)^{2}-25=0 \) c) \( 5 x-12 y=4, x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+1=0 \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions