\( \cos x ^ { 2 } + \sin x ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } x ^ { 2 } \cdot \cos ^ { 2 } x = 1 \)

La ecuación proporcionada es: \[ \cos(x^{2}) + \sin(x^{2}) + \sin^{2}(x^{2}) \cdot \cos^{2}(x) = 1 \] Vamos a analizar si esta igualdad se mantiene para todo valor de \( x \). ### Análisis de la Ecuación 1. **Descomposición de Términos:** - **Primer término:** \( \cos(x^{2}) \) - **Segundo término:** \( \sin(x^{2}) \) - **Tercer término:** \( \sin^{2}(x^{2}) \cdot \cos^{2}(x) \) 2. **Verificación para Valores Específicos:** - **Caso 1:** \( x = 0 \) \[ \cos(0^{2}) + \sin(0^{2}) + \sin^{2}(0^{2}) \cdot \cos^{2}(0) = \cos(0) + \sin(0) + 0 \cdot 1 = 1 + 0 + 0 = 1 \] En este caso, la ecuación se cumple. - **Caso 2:** \( x = \frac{\pi}{2} \) \[ \cos\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}\right) + \sin\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}\right) + \sin^{2}\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}\right) \cdot \cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) \] Calculando cada término: \[ \cos\left(\frac{\pi^{2}}{4}\right) \approx -0.781 \] \[ \sin\left(\frac{\pi^{2}}{4}\right) \approx 0.624 \] \[ \sin^{2}\left(\frac{\pi^{2}}{4}\right) \cdot \cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 0.624^{2} \cdot 0 = 0 \] Sumando los términos: \[ -0.781 + 0.624 + 0 \approx -0.157 \neq 1 \] En este caso, la ecuación **no** se cumple. ### Conclusión La ecuación: \[ \cos(x^{2}) + \sin(x^{2}) + \sin^{2}(x^{2}) \cdot \cos^{2}(x) = 1 \] **no es una identidad válida para todo valor de \( x \)**. Se cumple para ciertos valores específicos de \( x \) (como \( x = 0 \)) pero falla para otros (como \( x = \frac{\pi}{2} \)).