1. ACTIVIDAD Usando el método gráfico resuelva correctamente el siguiente modelo de Max \( Z=20 x_{1}+22 x_{2} \) Sujeto a: \( 8 x_{1}+6 x_{2} \leq 48 \) \( 6 x_{1}+8 x_{2} \leq 48 \) \( 7 x_{1}+7 x_{2}=42 \) \( x_{1}, x_{2} \geq 0 \)

1. Escribimos el modelo: Maximizar \[ Z=20x_{1}+22x_{2} \] Sujeto a: \[ 8x_{1}+6x_{2}\leq48 \] \[ 6x_{1}+8x_{2}\leq48 \] \[ 7x_{1}+7x_{2}=42 \] \[ x_{1}\geq0,\quad x_{2}\geq0 \] 2. Simplificamos la restricción de igualdad. Dividiendo la ecuación \[ 7x_{1}+7x_{2}=42 \] entre 7, obtenemos: \[ x_{1}+x_{2}=6. \] Esta restricción obliga a que las soluciones factibles deban estar sobre la recta \[ x_{2}=6-x_{1}. \] 3. Sustituimos \(x_{2}=6-x_{1}\) en las otras restricciones para determinar los valores factibles de \(x_1\): - Primera restricción: \[ 8x_{1}+6(6-x_{1})\leq48. \] Desarrollamos: \[ 8x_{1}+36-6x_{1}\leq48 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{1}+36\leq48. \] Restamos 36 de ambos lados: \[ 2x_{1}\leq12 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\leq6. \] - Segunda restricción: \[ 6x_{1}+8(6-x_{1})\leq48. \] Desarrollamos: \[ 6x_{1}+48-8x_{1}\leq48 \quad\Longrightarrow\quad -2x_{1}+48\leq48. \] Restamos 48 de ambos lados: \[ -2x_{1}\leq0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\geq0. \] 4. Además, por las condiciones de no negatividad se tiene \(x_{1}\geq0\) y \(x_{2}\geq0\). Con \(x_{2}=6-x_{1}\), la condición \(x_{2}\geq0\) implica: \[ 6-x_{1}\geq0\quad\Longrightarrow\quad x_{1}\leq6. \] En conjunto, el valor de \(x_{1}\) está restringido a: \[ 0\leq x_{1}\leq6. \] Y, consecuentemente, \(x_{2}=6-x_{1}\) varía de 6 a 0. 5. Expresamos la función objetivo en términos de \(x_{1}\) sustituyendo \(x_{2}=6-x_{1}\): \[ Z=20x_{1}+22(6-x_{1})=20x_{1}+132-22x_{1}=132-2x_{1}. \] 6. Dado que \(Z=132-2x_{1}\) es una función lineal decreciente en \(x_{1}\), para maximizar \(Z\) debemos escoger el valor mínimo de \(x_{1}\). Así: \[ x_{1}=0 \quad \Longrightarrow \quad x_{2}=6-0=6. \] 7. Evaluamos el valor de la función objetivo: \[ Z=20(0)+22(6)=132. \] 8. Verificamos que el punto cumple todas las restricciones: - \(8(0)+6(6)=36\leq48\) - \(6(0)+8(6)=48\leq48\) - \(0+6=6\) (cumple \(x_{1}+x_{2}=6\)) - \(0\geq0,\quad6\geq0\) Por lo tanto, la solución óptima es \[ x_{1}=0,\quad x_{2}=6\quad \text{con } Z_{\max}=132. \]