Dokaži: \( \quad 1-\frac{\sin ^{2}(2 x)}{2 \cos ^{2} x}=\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right) \)

Da bismo dokazali jednakost \( 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2 \cos^2 x} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) \), prvo ćemo analizirati desnu stranu. Poznato je da važi identitet: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos(\theta) \] Dakle, \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \cos(2x) \] Sada možemo prepraviti levu stranu: \[ 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2\cos^2 x} \] Možemo pisati \( 1 \) kao \( \frac{2\cos^2 x}{2\cos^2 x} \), pa dobijamo: \[ \frac{2\cos^2 x - \sin^2(2x)}{2\cos^2 x} \] S obzirom na to da je \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), možemo izražiti \( \sin^2(2x) \): \[ \sin^2(2x) = (2\sin(x)\cos(x))^2 = 4\sin^2(x)\cos^2(x) \] S obzirom na to, sada imamo: \[ 2\cos^2 x - \sin^2(2x) = 2\cos^2 x - 4\sin^2 x \cos^2 x \] Između ostalog možemo da faktorizujemo: \[ = 2\cos^2 x (1 - 2\sin^2 x) \] Znamo iz identiteta da važi \( \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \), a takođe i: \[ 1 - 2\sin^2 x = \cos(2x) \] Zbog čega imamo: \[ = 2\cos^2 x \cdot \cos(2x) \] Sada, vraćajući se na levu stranu izraza, dobijamo: \[ \frac{2\cos^2 x \cos(2x)}{2\cos^2 x} = \cos(2x) \] Tako da imamo: \[ 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2\cos^2 x} = \cos(2x) \] Na kraju, možemo da zaključimo da: \[ \cos(2x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) \] Što dokazuje prvobitnu jednakost. Dakle: \[ 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2\cos^2 x} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) \] Što je bio cilj.