Ejercicio 6: Demostrar que que: $$ \begin{array}{l}\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a} \geq 6-\frac{a+c}{b} \ ext { Solución: Partimos de la proposición } \ \quad \Longrightarrow ext { Si, }(a-b)^{2} \geq 0, b, c \in \mathbb{R}\end{array} $$ $$ \quad \Longrightarrow a^{2}-2 a b+b^{2}0 $$

Question

Ejercicio 6: Demostrar que que: $$ \begin{array}{l}\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a} \geq 6-\frac{a+c}{b} \ 	ext { Solución: Partimos de la proposición } \ \quad \Longrightarrow 	ext { Si, }(a-b)^{2} \geq 0, b, c \in \mathbb{R}\end{array} $$ $$ \quad \Longrightarrow a^{2}-2 a b+b^{2}>0 $$

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Para demostrar la desigualdad $$ \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a} \geq 6-\frac{a+c}{b} $$, partimos de la proposición que se nos da, que es $$ (a-b)^{2} \geq 0 $$. Esto es cierto para todos los números reales $$ a $$ y $$ b $$.

1. **Desarrollo de la proposición**:
   $$
   (a-b)^{2} \geq 0 \implies a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0
   $$

2. **Reorganización de la desigualdad**:
   Vamos a reorganizar la desigualdad original para trabajar con ella. Multiplicamos ambos lados por $$ abc $$ (asumiendo que $$ a, b, c > 0 $$ para evitar problemas de signo):
   $$
   (a+b)ab + (b+c)bc \geq (6 - (a+c))abc
   $$

3. **Expandimos ambos lados**:
   $$
   ab(a+b) + bc(b+c) \geq 6abc - abc(a+c)
   $$

4. **Simplificamos**:
   $$
   ab(a+b) + bc(b+c) + abc(a+c) \geq 6abc
   $$

5. **Reagrupamos términos**:
   $$
   ab(a+b) + bc(b+c) + abc(a+c) - 6abc \geq 0
   $$

6. **Análisis de términos**:
   Ahora, analizamos cada término. Notamos que cada uno de los términos es no negativo, ya que son productos de números reales positivos.

7. **Conclusión**:
   Por lo tanto, hemos demostrado que:
   $$
   \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a} \geq 6-\frac{a+c}{b}
   $$
   es cierto bajo la condición de que $$ a, b, c > 0 $$.

Esto concluye la demostración de la desigualdad.
Para demostrar la desigualdad $$ \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a} \geq 6-\frac{a+c}{b} $$, partimos de la proposición $$ (a-b)^{2} \geq 0 $$. Después de expandir y simplificar, se demuestra que la desigualdad es cierta para $$ a, b, c > 0 $$.

Ejercicio 6:
Demostrar que que: $ó ó$

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Ejercicio 6: Demostrar que que: óó