270 В равнобедренном треугольнике $$ A B C $$ с основанием $$ A C $$ проведены биссектриса $$ A F $$ и высота $$ A H $$. Найдите углы треугольника $$ A H F $$, если $$ \angle B=112^{\circ} $$. 79 Coomvawesus semoty трсугоявника

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Обозначим угол при вершине $$A$$ треугольника $$A B C$$ через $$\alpha$$, а угол при вершине $$B$$ – через $$\beta$$. По условию  
$$
\beta=112^{\circ},
$$  
а так как треугольник равнобедренный с основанием $$A C$$, то стороны $$A B$$ и $$B C$$ равны, а углы при основании равны. Обозначим эти углы через $$x$$. Тогда  
$$
x+x+112^{\circ}=180^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad 2x=68^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad x=34^{\circ}.
$$
Таким образом,  
$$
\angle A=34^{\circ} \quad \text{и} \quad \angle C=34^{\circ}.
$$

Из условий задачи из вершины $$A$$ проведены биссектриса $$A F$$ и высота $$A H$$. Разберём построение:

1. Биссектриса $$A F$$ делит угол $$A$$ пополам, поэтому  
   $$
   \angle BAF = \angle FAC = \frac{34^{\circ}}{2}=17^{\circ}.
   $$
   
2. Высота $$A H$$ опущена из вершины $$A$$ на сторону $$B C$$. Следовательно,  
   $$
   A H \perp B C.
   $$

Найдем углы треугольника $$A H F$$ по следующим соображениям.

■ Определим угол при вершине $$A$$ в треугольнике $$A H F$$.  
Выберем систему координат так, чтобы основание $$A C$$ было горизонтальным. Тогда луч $$A C$$ направлен вдоль горизонтали. При этом  
- биссектриса $$A F$$ образует с $$A C$$ угол $$17^{\circ}$$ (так как $$A F$$ делит угол $$34^{\circ}$$);  
- сторона $$B C$$ имеет угол наклона, равный $$ -34^{\circ}$$ (это можно увидеть из равенства углов треугольника, а также построив треугольник с вершинами $$A$$, $$B$$ и $$C$$).

Поскольку $$A H \perp B C$$, то $$A H$$ образует с $$A C$$ угол  
$$
90^{\circ}-(-34^{\circ})=90^{\circ}+34^{\circ}=124^{\circ}.
$$
Однако этот угол между $$A H$$ и $$A C$$ получается, если смотреть «внешне» от угла $$A$$, но нам важна ориентировка внутри треугольника.

Чтобы правильно определить направленность, рассмотрим следующее:  
- Так как $$A C$$ горизонтальный, угол между $$A C$$ и $$A F$$ равен $$17^{\circ}$$;  
- Высота $$A H$$ как перпендикуляр к $$B C$$ будет иметь направление, перпендикулярное линии, имеющей наклон $$-34^{\circ}$$. То есть $$A H$$ образует с горизонталью угол  
$$
90^{\circ}-34^{\circ}=56^{\circ}.
$$
(поскольку если прямая имеет наклон $$-34^{\circ}$$, то перпендикуляр к ней имеет наклон $$56^{\circ}$$; можно проверить: $$56+34=90$$).

Таким образом, с горизонталью:
- Направление $$A F$$: $$17^{\circ}$$.  
- Направление $$A H$$: $$56^{\circ}$$.

Угол между ними (в вершине $$A$$ треугольника $$A H F$$) равен  
$$
\angle H A F = 56^{\circ}-17^{\circ}=39^{\circ}.
$$

■ Найдем угол при вершине $$H$$ в треугольнике $$A H F$$.  
Заметим, что точки $$F$$ и $$H$$ лежат на прямой $$B C$$ (так как и биссектриса $$A
В треугольнике $$ A H F $$ углы равны $$ 39^\circ $$, $$ 34^\circ $$, и $$ 87^\circ $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Geometry Questions