8. Si \( a \in \mathbb{R}^{+}, a c<0 \) y \( b c>0 \), halle el conjunto solución de \( \frac{b x}{a}+\frac{a x+3 a b}{b}>3 a-\frac{x}{c} \) \( \begin{array}{lll}\text { A) }\langle-\infty ; 0\rangle & \text { B) }\langle 0 ;+\infty\rangle & \text { C) }\langle a b ;+\infty\rangle \\ \text { D) }\langle a b ; 0\rangle & \text { E) }\langle 0 ; b c\rangle\end{array} \)

Dadas las condiciones: a ∈ ℝ⁺ (entonces a > 0), a·c < 0 y b·c > 0. Observemos: 1. Como a > 0 y a·c < 0, se deduce que c < 0. 2. Además, b·c > 0 y c < 0 implican que b < 0. La desigualdad a resolver es:   (bx)/a + (ax + 3ab)/b > 3a – x/c Procedamos a simplificarla: Paso 1. Escribimos cada término:   (bx)/a + (ax)/b + (3ab)/b > 3a – x/c Notamos que (3ab)/b = 3a (ya que b ≠ 0). Entonces:   (bx)/a + (ax)/b + 3a > 3a – x/c Paso 2. Restamos 3a en ambos lados:   (bx)/a + (ax)/b > – x/c Paso 3. Llevamos –x/c al lado izquierdo:   (bx)/a + (ax)/b + x/c > 0 Factorizamos la x:   x · [ (b/a) + (a/b) + 1/c ] > 0 Llamemos a la suma de coeficientes:   T = (b/a) + (a/b) + 1/c Paso 4. Analicemos el signo de T. – Dado que a > 0 y b < 0, se tiene:   (b/a) + (a/b) = (b² + a²)/(ab)   El numerador a² + b² es positivo, pero el denominador ab es negativo (por a > 0 y b < 0), por lo que:   (b/a) + (a/b) < 0 – Además, al ser c < 0, se tiene 1/c < 0. Por lo tanto, T es la suma de dos números negativos, así que T < 0. Paso 5. La desigualdad ahora es:   x · (valor negativo) > 0 Para que el producto de x por un número negativo sea mayor que cero, x debe ser negativo (ya que: negativo · negativo = positivo). Por lo tanto, la solución es:   x < 0 Observando las opciones, ésta corresponde a la opción: A) ⟨–∞; 0⟩ Así que, el conjunto solución es:   {x ∈ ℝ: x < 0}.