Dati la retta \( r:\left\{\begin{array}{l}x+y-z=2 \\ x-2 z=1\end{array}\right. \) e il piano \( \pi: x+2 y=3 \), indicare l'affermazione corretta: Answer a. \( r \) è parallela a \( \pi \) e non contenuta in \( \pi \) b. \( r \) è contenuta in \( \pi \) c. \( r \) è ortogonale con \( \pi \) d. \( r \) è incidente e non ortogonale con \( \pi \)

Per determinare la relazione tra la retta \( r \) e il piano \( \pi \), dobbiamo trovare la direzione della retta e la normale del piano. La retta \( r \) è definita da due equazioni: 1. \( x + y - z = 2 \) 2. \( x - 2z = 1 \) Possiamo scrivere queste equazioni in forma parametriche e trovare un vettore direzionale della retta. Dalla prima equazione possiamo esprimere \( z \) in funzione di \( x \) e \( y \): Da \( z = x + y - 2 \), e sostituendo nella seconda otteniamo un sistema che ci permette di trovare i punti sulla retta. Il piano \( \pi \) è descritto dall'equazione \( x + 2y = 3 \). La normale del piano è data dal vettore \( (1, 2, 0) \). Ora, troviamo il vettore direzionale della retta. Applicando le condizioni delle due equazioni per esprimere i cambiamenti di una variabile rispetto alle altre, otteniamo i cambiamenti nelle variabili. Dopo aver effettuato il calcolo, possiamo verificare la presenza di eventuali intersezioni e relazioni angolari. Gli angoli e la posizione dei vettori possono dirci se la retta è: - Parallela, - Contenuta, - Ortogonale, - Incidente. Dopo aver analizzato, risulta che l'affermazione corretta è d: “\( r \) è incidente e non ortogonale con \( \pi \)”.