Dengan menggunakan pada tahun ini. In this ycar, sum of Puan Mariam's age and her son's age is 34 . Three years later, Puan Mariam's age will be triple her son's age. By using matrix method, calculate the age of Puan Mariam and her son this year. [ 5 marks] Puan Mariam merancang untuk bersara pada umur 55 tahun dan beliau menjangkakan bahawa anaknya akan menamatkan pelajaran pada usia 25 tahun. Berdasarkan jawapan anda di \( 12(b) \) (i), adakah anaknya menamatkan pelajaran sebelum beliau bersara? Justifikasikan jawapan anda. [2 markah] Puan Mariam plans to retire at the age of 55 and she expects that her son will finish his education at the age of 25 . Based on your answer in \( 12(b) \) (i), will her son be able to finish his studies before she retires? Justify your answer. [2 marks]

**设设变量：** 令 \( x \) 表示 Puan Mariam 的年龄，\( y \) 表示她儿子的年龄。 --- **第一步：建立方程** 根据题意得： 1. 今年两人年龄之和为 34 \[ x + y = 34 \] 2. 三年后，Puan Mariam 的年龄将是她儿子年龄的三倍 三年后她的年龄为 \( x + 3 \)，她儿子的年龄为 \( y + 3 \)，因此有 \[ x + 3 = 3(y + 3) \] 化简得到： \[ x + 3 = 3y + 9 \quad \Longrightarrow \quad x - 3y = 6 \] --- **第二步：用矩阵方法求解** 由以上方程组可写成矩阵形式： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 \\ 6 \end{pmatrix} \] 记系数矩阵为 \( A \)、未知数向量为 \( X \) 和常数向量为 \( B \)，则有 \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 34 \\ 6 \end{pmatrix} \] **计算矩阵 \( A \) 的行列式** \[ \det(A) = (1)(-3) - (1)(1) = -3 - 1 = -4 \] **求 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \)** \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \] **求解 \( X = A^{-1}B \)** \[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 34 \\ 6 \end{pmatrix} \] 计算得： \[ x = \frac{3}{4} \times 34 + \frac{1}{4} \times 6 = \frac{102}{4} + \frac{6}{4} = \frac{108}{4} = 27 \] \[ y = \frac{1}{4} \times 34 - \frac{1}{4} \times 6 = \frac{34 - 6}{4} = \frac{28}{4} = 7 \] --- **第三步：回答第一问** 因此，今年 Puan Mariam 的年龄为 \( 27 \) 岁，她儿子的年龄为 \( 7 \) 岁。 --- **第四步：判断第二问** 题目说明 Puan Mariam 计划在 \( 55 \) 岁退休，而她希望儿子 \( 25 \) 岁时完成学业。 现在已知 Puan Mariam 年龄 \( 27 \) 岁，她儿子年龄 \( 7 \) 岁。 由此可得： - 儿子从 \( 7 \) 岁到 \( 25 \) 岁需要 \( 25 - 7 = 18 \) 年。 - 同时 Puan Mariam 从 \( 27 \) 岁到 \( 27 + 18 = 45 \) 岁时，也正好在儿子完成学业。 由于 \( 45 < 55 \)，所以当她的儿子完成学业时，她还未退休。 --- **结论** - 今年 Puan Mariam 年龄为 \( 27 \) 岁，儿子年龄为 \( 7 \) 岁。 - 她的儿子将在她 \( 45 \) 岁时完成学业，因此他将会在她退休前完成学业。