Dengan menggunakan pada tahun ini. In this ycar, sum of Puan Mariam's age and her son's age is 34 . Three years later, Puan Mariam's age will be triple her son's age. By using matrix method, calculate the age of Puan Mariam and her son this year. [ 5 marks] Puan Mariam merancang untuk bersara pada umur 55 tahun dan beliau menjangkakan bahawa anaknya akan menamatkan pelajaran pada usia 25 tahun. Berdasarkan jawapan anda di $$ 12(b) $$ (i), adakah anaknya menamatkan pelajaran sebelum beliau bersara? Justifikasikan jawapan anda. [2 markah] Puan Mariam plans to retire at the age of 55 and she expects that her son will finish his education at the age of 25 . Based on your answer in $$ 12(b) $$ (i), will her son be able to finish his studies before she retires? Justify your answer. [2 marks]

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**设设变量：**  
令 $$ x $$ 表示 Puan Mariam 的年龄，$$ y $$ 表示她儿子的年龄。

---

**第一步：建立方程**  
根据题意得：  
1. 今年两人年龄之和为 34  
$$
x + y = 34
$$

2. 三年后，Puan Mariam 的年龄将是她儿子年龄的三倍  
三年后她的年龄为 $$ x + 3 $$，她儿子的年龄为 $$ y + 3 $$，因此有  
$$
x + 3 = 3(y + 3)
$$  
化简得到：  
$$
x + 3 = 3y + 9 \quad \Longrightarrow \quad x - 3y = 6
$$

---

**第二步：用矩阵方法求解**

由以上方程组可写成矩阵形式：  
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
1 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
34 \
6
\end{pmatrix}
$$

记系数矩阵为 $$ A $$、未知数向量为 $$ X $$ 和常数向量为 $$ B $$，则有  
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 \
1 & -3
\end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix}
x \
y
\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}
34 \
6
\end{pmatrix}
$$

**计算矩阵 $$ A $$ 的行列式**  
$$
\det(A) = (1)(-3) - (1)(1) = -3 - 1 = -4
$$

**求 $$ A $$ 的逆矩阵 $$ A^{-1} $$**  
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}
-3 & -1 \
-1 & 1
\end{pmatrix} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix}
-3 & -1 \
-1 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{3}{4} & \frac{1}{4} \
\frac{1}{4} & -\frac{1}{4}
\end{pmatrix}
$$

**求解 $$ X = A^{-1}B $$**  
$$
\begin{pmatrix}
x \
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{3}{4} & \frac{1}{4} \
\frac{1}{4} & -\frac{1}{4}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
34 \
6
\end{pmatrix}
$$

计算得：  
$$
x = \frac{3}{4} \times 34 + \frac{1}{4} \times 6 = \frac{102}{4} + \frac{6}{4} = \frac{108}{4} = 27
$$
$$
y = \frac{1}{4} \times 34 - \frac{1}{4} \times 6 = \frac{34 - 6}{4} = \frac{28}{4} = 7
$$

---

**第三步：回答第一问**  
因此，今年 Puan Mariam 的年龄为 $$ 27 $$ 岁，她儿子的年龄为 $$ 7 $$ 岁。

---

**第四步：判断第二问**

题目说明 Puan Mariam 计划在 $$ 55 $$ 岁退休，而她希望儿子 $$ 25 $$ 岁时完成学业。  
现在已知 Puan Mariam 年龄 $$ 27 $$ 岁，她儿子年龄 $$ 7 $$ 岁。  
由此可得：  
- 儿子从 $$ 7 $$ 岁到 $$ 25 $$ 岁需要 $$ 25 - 7 = 18 $$ 年。  
- 同时 Puan Mariam 从 $$ 27 $$ 岁到 $$ 27 + 18 = 45 $$ 岁时，也正好在儿子完成学业。

由于 $$ 45 < 55 $$，所以当她的儿子完成学业时，她还未退休。

---

**结论**

- 今年 Puan Mariam 年龄为 $$ 27 $$ 岁，儿子年龄为 $$ 7 $$ 岁。  
- 她的儿子将在她 $$ 45 $$ 岁时完成学业，因此他将会在她退休前完成学业。
今年，Puan Mariam 27 岁，她儿子 7 岁。根据计算，当她儿子完成学业时，她还未退休。

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