Cálculo Diferencial: Razón de cambio
Una alberca tiene 40 ft de largo, 20 ft de ancho, 8 ft de profundidad en un extremo y
en el otro como se muestra en la figura. Si se bombea agua a una razón de
, dcon qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando la profundidad es de
3 ft en el extremo más hondo?

Ask by Pollard Elliott. in Venezuela

Mar 19,2025

Question

Cálculo Diferencial: Razón de cambio
Una alberca tiene 40 ft de largo, 20 ft de ancho, 8 ft de profundidad en un extremo y
en el otro como se muestra en la figura. Si se bombea agua a una razón de
, dcon qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando la profundidad es de
3 ft en el extremo más hondo?

Ask by Pollard Elliott. in Venezuela

Mar 19,2025

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Para resolver el problema, primero debemos entender la geometría de la alberca y cómo se relaciona el volumen del agua con la profundidad.

### Conocidos:
- Longitud de la alberca ($$L$$): 40 ft
- Ancho de la alberca ($$W$$): 20 ft
- Profundidad en un extremo ($$h_1$$): 8 ft
- Profundidad en el otro extremo ($$h_2$$): 3 ft
- Tasa de bombeo de agua ($$\frac{dV}{dt}$$): 40 ft³/min
- Profundidad del agua en el extremo más hondo ($$h$$): 3 ft

### Paso 1: Volumen del agua en la alberca
La alberca tiene una forma trapezoidal, pero para simplificar, consideraremos el volumen del agua como un prisma rectangular en el que la profundidad $$h$$ varía linealmente entre 3 ft y 8 ft.

La profundidad promedio ($$h_{prom}$$) en un momento dado se puede calcular como:
$$
h_{prom} = \frac{h_1 + h_2}{2} = \frac{8 + 3}{2} = 5.5 \text{ ft}
$$

Sin embargo, dado que estamos interesados en la profundidad en el extremo más hondo, usaremos solo $$h$$.

### Paso 2: Relación entre el volumen y la profundidad
El volumen $$V$$ del agua en la alberca se puede expresar como:
$$
V = L \cdot W \cdot h
$$
Sustituyendo los valores de $$L$$ y $$W$$:
$$
V = 40 \cdot 20 \cdot h = 800h
$$

### Paso 3: Derivada del volumen respecto al tiempo
Para encontrar la rapidez con la que se eleva el nivel del agua ($$\frac{dh}{dt}$$), aplicamos la regla de la cadena:
$$
\frac{dV}{dt} = 800 \cdot \frac{dh}{dt}
$$

### Paso 4: Sustitución de valores
Sabemos que $$\frac{dV}{dt} = 40$$ ft³/min, así que sustituimos:
$$
40 = 800 \cdot \frac{dh}{dt}
$$

### Paso 5: Resolviendo para $$\frac{dh}{dt}$$
Despejamos $$\frac{dh}{dt}$$:
$$
\frac{dh}{dt} = \frac{40}{800} = \frac{1}{20} \text{ ft/min}
$$

### Respuesta
La rapidez con la que se eleva el nivel del agua cuando la profundidad es de 3 ft en el extremo más hondo es de $$ \frac{1}{20} $$ ft/min o 0.05 ft/min.
La rapidez con la que se eleva el nivel del agua es de 0.05 ft/min.

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Conocidos:

Paso 1: Volumen del agua en la alberca

Paso 2: Relación entre el volumen y la profundidad

Paso 3: Derivada del volumen respecto al tiempo

Paso 4: Sustitución de valores

Paso 5: Resolviendo para

Respuesta

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