A) $$ \frac{10 x^{2}-23 x+51}{x^{4}-x^{3}-11 x^{2}-x-12} $$

Question

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1. Empezamos con la expresión:

$$
\frac{10x^2 - 23x + 51}{x^4 - x^3 - 11x^2 - x - 12}
$$

2. Factorizamos el denominador. Observamos el polinomio:

$$
x^4 - x^3 - 11x^2 - x - 12
$$

Buscamos raíces racionales posibles ($$ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \ldots $$). Probemos con $$ x = 4 $$:

$$
4^4 - 4^3 - 11\cdot4^2 - 4 - 12 = 256 - 64 - 176 - 4 - 12 = 0
$$

Por lo tanto, $$ x = 4 $$ es raíz y $$ (x-4) $$ es factor.

3. Dividimos el denominador entre $$ (x-4) $$. Utilizando división sintética con los coeficientes $$ 1,\, -1, \, -11,\, -1,\, -12 $$:

- Se baja el $$ 1 $$.
- $$ 1 \times 4 = 4 $$. Sumamos al siguiente coeficiente: $$ -1 + 4 = 3 $$.
- $$ 3 \times 4 = 12 $$. Sumamos: $$ -11 + 12 = 1 $$.
- $$ 1 \times 4 = 4 $$. Sumamos: $$ -1 + 4 = 3 $$.
- $$ 3 \times 4 = 12 $$. Sumamos: $$ -12 + 12 = 0 $$.

De esta forma, el cociente es:

$$
x^3 + 3x^2 + x + 3
$$

4. Factorizamos el polinomio $$ x^3 + 3x^2 + x + 3 $$ por agrupación:

$$
x^3 + 3x^2 + x + 3 = (x^3 + 3x^2) + (x + 3)
$$

Sacamos factores comunes:

$$
= x^2(x+3) + 1(x+3) = (x+3)(x^2+1)
$$

5. Así, el denominador factorizado es:

$$
(x-4)(x+3)(x^2+1)
$$

6. Revisamos el numerador $$ 10x^2 - 23x + 51 $$. Calculamos su discriminante:

$$
\Delta = (-23)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 51 = 529 - 2040 = -1511
$$

Al ser negativo, no se puede factorizar en raíces reales y, además, no comparte ningún factor con el denominador.

7. La expresión resultante es:

$$
\frac{10x^2 - 23x + 51}{(x-4)(x+3)(x^2+1)}
$$
La expresión simplificada es: $$ \frac{10x^2 - 23x + 51}{(x-4)(x+3)(x^2+1)} $$

A) \( \frac{10 x^{2}-23 x+51}{x^{4}-x^{3}-11 x^{2}-x-12} \)

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