c) $$ z=\ln \left(x-e^{x y}\right) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideremos la función

$$
z = \ln\left(x - e^{xy}\right).
$$

Procederemos a calcular sus derivadas parciales.

### 1. Derivada parcial respecto a $$ x $$

Primero identificamos la función interna:

$$
u = x - e^{xy}.
$$

La función se escribe como $$ z = \ln(u) $$, por lo que usando la regla de la cadena tenemos:

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
$$

Calculemos $$\frac{\partial u}{\partial x}$$:

$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(x - e^{xy}\right) = 1 - \frac{\partial}{\partial x}\left(e^{xy}\right).
$$

Para derivar $$ e^{xy} $$ respecto a $$ x $$, usamos la regla de la cadena:

$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{xy}\right) = e^{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(xy\right).
$$

Dado que:

$$
\frac{\partial}{\partial x}(xy) = y,
$$

se tiene:

$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{xy}\right) = y\, e^{xy}.
$$

Por lo tanto:

$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 1 - y\, e^{xy}.
$$

Sustituyendo en la derivada de $$ z $$:

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1 - y\, e^{xy}}{x - e^{xy}}.
$$

### 2. Derivada parcial respecto a $$ y $$

Nuevamente, partiendo de la función interna

$$
u = x - e^{xy},
$$

y usando la regla de la cadena:

$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
$$

Calculemos $$\frac{\partial u}{\partial y}$$:

$$
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(x - e^{xy}\right) = 0 - \frac{\partial}{\partial y}\left(e^{xy}\right).
$$

Derivamos $$ e^{xy} $$ respecto a $$ y $$:

$$
\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{xy}\right) = e^{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(xy\right).
$$

Como $$ \frac{\partial}{\partial y}(xy) = x $$, tenemos:

$$
\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{xy}\right) = x\, e^{xy}.
$$

Entonces:

$$
\frac{\partial u}{\partial y} = - x\, e^{xy}.
$$

Y la derivada de $$ z $$ respecto a $$ y $$ es:

$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{- x\, e^{xy}}{x - e^{xy}}.
$$

### Resumen

Las derivadas parciales de la función

$$
z = \ln\left(x - e^{xy}\right)
$$

son:

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1 - y\, e^{xy}}{x - e^{xy}},
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{- x\, e^{xy}}{x - e^{xy}}.
$$
Las derivadas parciales de la función $$ z = \ln\left(x - e^{xy}\right) $$ son: $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1 - y\, e^{xy}}{x - e^{xy}}, $$ $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{- x\, e^{xy}}{x - e^{xy}}. $$

c) \( z=\ln \left(x-e^{x y}\right) \)

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