Resuelve las siguientes aplicaciones: 1. Tres cajas contienen, cada una, 12 kilogramos de carne de res, 18 de carne de cerdo y 24 de carne de pollo. La carne de cada caja está contenida en bolsas del mismo tamaño y con la máxima cantidad de carne posible, ¿cuánto pesa cada bolsa y cuantas hay por caja? 2. Gerardo fabrica un anuncio luminoso con focos de color rojo, amarillo y verde, de tal manera que los focos rojos enciendan cada 10 segundos, los amarillos cada 6 y los verdes cada 15 , si al probar el anuncio encienden todos los focos a la vez, ¿después de cuántos segundos volverán a encender juntos? 3. Un ebanista quiere cortar en cuadros lo más grande posible una plancha de madera de 300 cm de largo y 80 cm de ancho, ¿cuál debe ser la longitud de los lados de cada cuadro? 4. Un ciclista da una vuelta a una pista en 6 minutos, mientras que otro tarda 4 minutos. Si ambos inician sus recorridos juntos, ¿después de qué tiempo volverán a encontrarse y cuántas vueltas habrán dado cada uno? 5. Una llave vierte 4 litros de agua por minuto, otra 3 y una tercera, 8. ¿Cuál es la cantidad menor de litros que puede tener un pozo para que se llene en un número exacto de minutos por cualquiera de las 3 llaves? 6. Tres rollos de tela de 30,48 y 72 metros de largo se quieren cortar para hacer banderas con pedazos iguales y de mayor longitud, ¿cuál será el largo de cada pedazo? 7. Un parque de diversiones quiere construir balsas con 3 troncos de palmera, los cuales miden 15,9 y 6 metros, ¿cuánto deben medir los pedazos de tronco si tienen que ser del mismo tamaño?, ¿cuántos pedazos de troncos saldrán? 8. El abuelo Eduardo da dinero a 3 de sus hijos para que lo repartan a los nietos de manera equitativa. A su hijo Rubén le da \( \$ 5000 \), a su hijo Anselmo le da \( \$ 6000 \), mientras que a Horacio sólo \( \$ 3000 \). ¿cuál es la mayor cantidad de dinero que podrán darle a sus hijos y cuántos nietos tiene Eduardo? 9. Fabián tiene un reloj que da una señal cada 18 minutos, otro que da una señal cada 12 minutos y un tercero cada 42 minutos. A las 11 de la mañana los 3 relojes han coincidido en dar la señal, ¿cuántos minutos como mínimo han de pasar para que vuelvan a coincidir?, ¿a qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos'? 10. Daniel y Omar tienen 60 canicas azules, 45 verdes y 90 amarillas; quieren hacer costalitos iguales con el número mayor de canicas sin que sobren, ¿cuántos costalitos pueden hacer y cuántas canicas tendrá cada uno? 11. Ricardo tiene en su papelería los lapiceros en bolsas. En la caja " A " tiene bolsitas de 30 lapiceros cada una y no sobran, en la caja "B" tiene bolsitas de 25 lapiceros cada una y tampoco sobran. El número de lapiceros que hay en la caja "A" es igual al que hay en la caja "B", ¿cuántos lapiceros como mínimo hay en cada caja? 12. Rosa tiene cubos de color lila de 8 cm de arista y de color rojo de 6 cm de arista. Ella quiere apilar los cubos en 2 columnas, una de cubos de color lila y otra de color rojo, desea conseguir que ambas columnas tengan la misma altura, ¿cuántos cubos, como mínimo, tiene que apilar de cada color? 13. Tres amigos pasean en bicicleta por un camino que rodea a un lago, para dar una vuelta completa, uno de ellos tarda 10 minutos, otro tarda 15 y el tercero, 18 minutos. Parten juntos y acuerdan interrumpir el paseo la primera vez que los 3 pasen simultáneamente por el punto de partida, ¿cuánto tiempo duró el paseo?, ¿cuántas vueltas dio cada uno? 14. En 1994 se realizaron elecciones para presidente y para jefe de gobierno, el periodo presidencial es de 6 años y el de jefe de gobierno de 4. ¿En qué año volverán a coincidir las elecciones? 15. El piso de una habitación tiene 425 cm de largo por 275 cm de ancho, si se desea poner el menor número de mosaicos cuadrados de mármol, ¿cuáles serán las dimensiones máximas de cada mosaico?, ¿cuántos mosaicos se necesitan?

Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}30x=25y\\30x=25z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{5y}{6}\\30x=25z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(30\times \frac{5y}{6}=25z\) - step3: Simplify: \(25y=25z\) - step4: Divide both sides: \(\frac{25y}{25}=\frac{25z}{25}\) - step5: Divide the numbers: \(y=z\) - step6: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{5z}{6}\) - step7: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(\frac{5z}{6},z,z\right),z \in \mathbb{R}\) - step8: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 15 = x * a; 9 = x * b; 6 = x * c \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}15=xa\\9=xb\\6=xc\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}a=\frac{15}{x}\\9=xb\\6=xc\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(a:\) \(\left\{ \begin{array}{l}9=xb\\6=xc\end{array}\right.\) - step3: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}b=\frac{9}{x}\\6=xc\end{array}\right.\) - step4: Substitute the value of \(b:\) \(6=xc\) - step5: Swap the sides: \(xc=6\) - step6: Divide both sides: \(\frac{xc}{x}=\frac{6}{x}\) - step7: Divide the numbers: \(c=\frac{6}{x}\) - step8: Calculate: \(\left(a,b,c,x\right) = \left(\frac{15}{x},\frac{9}{x},\frac{6}{x},x\right),x \in \mathbb{R}\) - step9: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 425 = x * a; 275 = x * b \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}425=xa\\275=xb\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}a=\frac{425}{x}\\275=xb\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(a:\) \(275=xb\) - step3: Swap the sides: \(xb=275\) - step4: Divide both sides: \(\frac{xb}{x}=\frac{275}{x}\) - step5: Divide the numbers: \(b=\frac{275}{x}\) - step6: Calculate: \(\left(a,b,x\right) = \left(\frac{425}{x},\frac{275}{x},x\right),x \in \mathbb{R}\) - step7: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 300 = x * a; 80 = x * b \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}300=xa\\80=xb\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}a=\frac{300}{x}\\80=xb\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(a:\) \(80=xb\) - step3: Swap the sides: \(xb=80\) - step4: Divide both sides: \(\frac{xb}{x}=\frac{80}{x}\) - step5: Divide the numbers: \(b=\frac{80}{x}\) - step6: Calculate: \(\left(a,b,x\right) = \left(\frac{300}{x},\frac{80}{x},x\right),x \in \mathbb{R}\) - step7: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 10x = 6y = 15z \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}10x=6y\\6y=15z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{3y}{5}\\6y=15z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(6y=15z\) - step3: Divide both sides: \(\frac{6y}{6}=\frac{15z}{6}\) - step4: Divide the numbers: \(y=\frac{5z}{2}\) - step5: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{3\times \frac{5z}{2}}{5}\) - step6: Simplify: \(x=\frac{3z}{2}\) - step7: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(\frac{3z}{2},\frac{5z}{2},z\right),z \in \mathbb{R}\) - step8: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 10x = 15y = 18z \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}10x=15y\\15y=18z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{3y}{2}\\15y=18z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(15y=18z\) - step3: Divide both sides: \(\frac{15y}{15}=\frac{18z}{15}\) - step4: Divide the numbers: \(y=\frac{6z}{5}\) - step5: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{3\times \frac{6z}{5}}{2}\) - step6: Simplify: \(x=\frac{9z}{5}\) - step7: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(\frac{9z}{5},\frac{6z}{5},z\right),z \in \mathbb{R}\) - step8: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 6x = 4y; 6x = 10z \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}6x=4y\\6x=10z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{2y}{3}\\6x=10z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(6\times \frac{2y}{3}=10z\) - step3: Simplify: \(4y=10z\) - step4: Divide both sides: \(\frac{4y}{4}=\frac{10z}{4}\) - step5: Divide the numbers: \(y=\frac{5z}{2}\) - step6: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{2\times \frac{5z}{2}}{3}\) - step7: Simplify: \(x=\frac{5z}{3}\) - step8: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(\frac{5z}{3},\frac{5z}{2},z\right),z \in \mathbb{R}\) - step9: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 18x = 12y = 42z \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}18x=12y\\12y=42z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{2y}{3}\\12y=42z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(12y=42z\) - step3: Divide both sides: \(\frac{12y}{12}=\frac{42z}{12}\) - step4: Divide the numbers: \(y=\frac{7z}{2}\) - step5: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{2\times \frac{7z}{2}}{3}\) - step6: Simplify: \(x=\frac{7z}{3}\) - step7: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(\frac{7z}{3},\frac{7z}{2},z\right),z \in \mathbb{R}\) - step8: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 4x = 3y = 8z \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}4x=3y\\3y=8z\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{3y}{4}\\3y=8z\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(3y=8z\) - step3: Divide both sides: \(\frac{3y}{3}=\frac{8z}{3}\) - step4: Divide the numbers: \(y=\frac{8z}{3}\) - step5: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{3\times \frac{8z}{3}}{4}\) - step6: Simplify: \(x=2z\) - step7: Calculate: \(\left(x,y,z\right) = \left(2z,\frac{8z}{3},z\right),z \in \mathbb{R}\) - step8: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 30 = x * a; 48 = x * b; 72 = x * c \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}30=xa\\48=xb\\72=xc\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}a=\frac{30}{x}\\48=xb\\72=xc\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(a:\) \(\left\{ \begin{array}{l}48=xb\\72=xc\end{array}\right.\) - step3: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}b=\frac{48}{x}\\72=xc\end{array}\right.\) - step4: Substitute the value of \(b:\) \(72=xc\) - step5: Swap the sides: \(xc=72\) - step6: Divide both sides: \(\frac{xc}{x}=\frac{72}{x}\) - step7: Divide the numbers: \(c=\frac{72}{x}\) - step8: Calculate: \(\left(a,b,c,x\right) = \left(\frac{30}{x},\frac{48}{x},\frac{72}{x},x\right),x \in \mathbb{R}\) - step9: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 12x + 18y + 24z = 12; 12x + 18y + 24z = 18; 12x + 18y + 24z = 24 \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}12x+18y+24z=12\\12x+18y+24z=18\\12x+18y+24z=24\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{2-3y-4z}{2}\\12x+18y+24z=18\\12x+18y+24z=24\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(\left\{ \begin{array}{l}12\times \frac{2-3y-4z}{2}+18y+24z=18\\12\times \frac{2-3y-4z}{2}+18y+24z=24\end{array}\right.\) - step3: Simplify: \(\left\{ \begin{array}{l}12=18\\12=24\end{array}\right.\) - step4: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \varnothing \\y \in \varnothing \\z \in \varnothing \end{array}\right.\) - step5: Rewrite: \((x, y, z) \in \varnothing\) Solve the system of equations \( 6 = x * a; 4 = x * b \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}6=xa\\4=xb\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}a=\frac{6}{x}\\4=xb\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(a:\) \(4=xb\) - step3: Swap the sides: \(xb=4\) - step4: Divide both sides: \(\frac{xb}{x}=\frac{4}{x}\) - step5: Divide the numbers: \(b=\frac{4}{x}\) - step6: Calculate: \(\left(a,b,x\right) = \left(\frac{6}{x},\frac{4}{x},x\right),x \in \mathbb{R}\) - step7: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Solve the system of equations \( 60 = x * a; 45 = x * b; 90 = x * c \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}60=xa\\45=xb\\90=xc\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}a=\frac{60}{x}\\45=xb\\90=xc\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(a:\) \(\left\{ \begin{array}{l}45=xb\\90=xc\end{array}\right.\) - step3: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}b=\frac{45}{x}\\90=xc\end{array}\right.\) - step4: Substitute the value of \(b:\) \(90=xc\) - step5: Swap the sides: \(xc=90\) - step6: Divide both sides: \(\frac{xc}{x}=\frac{90}{x}\) - step7: Divide the numbers: \(c=\frac{90}{x}\) - step8: Calculate: \(\left(a,b,c,x\right) = \left(\frac{60}{x},\frac{45}{x},\frac{90}{x},x\right),x \in \mathbb{R}\) - step9: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Vamos a resolver cada una de las aplicaciones paso a paso: ### 1. Cajas de carne Cada caja contiene: - 12 kg de carne de res - 18 kg de carne de cerdo - 24 kg de carne de pollo Para encontrar el peso de cada bolsa y cuántas hay por caja, necesitamos calcular el máximo común divisor (MCD) de los pesos de carne en cada caja. - MCD(12, 18, 24) = 6 kg Por lo tanto, cada bolsa pesará 6 kg. Ahora, calculamos cuántas bolsas hay por caja: - Carne de res: \( \frac{12}{6} = 2 \) bolsas - Carne de cerdo: \( \frac{18}{6} = 3 \) bolsas - Carne de pollo: \( \frac{24}{6} = 4 \) bolsas ### 2. Focos de Gerardo Los focos encienden cada: - Rojo: 10 segundos - Amarillo: 6 segundos - Verde: 15 segundos Para encontrar cuándo volverán a encender juntos, calculamos el MCD de los intervalos: - MCD(10, 6, 15) = 30 segundos Por lo tanto, volverán a encender juntos después de 30 segundos. ### 3. Ebanista y la plancha de madera La plancha mide 300 cm de largo y 80 cm de ancho. Para encontrar el tamaño del cuadrado más grande que se puede cortar, calculamos el MCD: - MCD(300, 80) = 20 cm Por lo tanto, cada cuadro debe medir 20 cm de lado. ### 4. Ciclistas Los tiempos para dar una vuelta son: - Ciclista 1: 6 minutos - Ciclista 2: 4 minutos El MCD de los tiempos es: - MCD(6, 4) = 12 minutos Por lo tanto, volverán a encontrarse después de 12 minutos. En ese tiempo, el ciclista 1 habrá dado \( \frac{12}{6} = 2 \) vueltas y el ciclista 2 \( \frac{12}{4} = 3 \) vueltas. ### 5. Llaves de agua Las llaves vierten: - Llave 1: 4 litros/minuto - Llave 2: 3 litros/minuto - Llave 3: 8 litros/minuto El MCD de los caudales es: - MCD(4, 3, 8) = 12 litros Por lo tanto, el pozo debe tener al menos 12 litros. ### 6. Rollos de tela Los rollos miden: - 30 m - 48 m - 72 m El MCD de las longitudes es: - MCD(30, 48, 72) = 6 m Por lo tanto, cada pedazo de tela debe medir 6 m. ### 7. Troncos de palmera Los troncos miden: - 15 m - 9 m - 6 m El MCD de las longitudes es: - MCD(15, 9, 6) = 3 m Por lo tanto, cada pedazo de tronco debe medir 3 m. ### 8. Dinero de Eduardo El total de dinero es: - Rubén: 5000 - Anselmo: 6000 - Horacio: 3000 Total = 5000 + 6000 + 3000 = 14000. Para repartir equitativamente entre los nietos, necesitamos el MCD de las cantidades: - MCD(5000, 6000, 3000) = 1000 Por lo tanto, la mayor cantidad que pueden dar a cada nieto es 1000, y el número de nietos es \( \frac{14000}{1000} = 14 \). ### 9. Relojes de Fabián Los relojes dan señal cada: - 18 minutos - 12 minutos - 42 minutos El MCD de los intervalos es: - MCD(18, 12, 42) = 126 minutos Por lo tanto, volverán a coincidir después de 126 minutos, es decir, a las 12:06. ### 10. Canicas de Daniel y Omar Las canicas son: - 60 azules - 45 verdes - 90 amarillas El MCD de las cantidades es: - MCD(60, 45, 90) = 15 Por lo tanto, pueden hacer 15 costalitos, y cada uno tendrá \( \frac{60}{15} = 4 \), \( \frac{45}{15} = 3 \), y \( \frac{90}{15} = 6 \) canicas. ### 11. Lapiceros de Ricardo Las cajas tienen: - Caja A: 30 lapiceros - Caja B: 25 lapiceros El MCD de las cantidades es: - MCD(30, 25) = 5 Por lo tanto, el número mínimo de lapiceros en cada caja es 150. ### 12. Cubos de Rosa Los cubos son: - Lila: 8 cm - Rojo: 6 cm El MCD de las alturas es: - MCD(8, 6) = 2 cm Por lo tanto, debe apilar 4 cubos lilas y 3 rojos. ### 13. Amigos en bicicleta Los tiempos son: - 10 minutos - 15 minutos - 18 minutos El MCD de los tiempos es: - MCD(10, 15, 18) = 90 minutos Por lo tanto, durará 90 minutos y cada uno dará \( \frac{90}{10} = 9 \), \( \frac{90}{15} = 6 \), y \( \frac{90}{18} = 5 \) vueltas. ### 14. Elecciones Los periodos son: - Presidente: 6 años - Jefe de gobierno: 4 años El MCD de los periodos es: - MCD(6, 4) = 12 años Por lo tanto, las elecciones volverán a coincidir en 12 años, es decir, en 2006. ### 15. Mosaicos Las dimensiones son: - Largo: 425 cm - Ancho: 275 cm El MCD de las dimensiones es: - MCD(425, 275) = 25 cm Por lo tanto, cada mosaico debe medir 25 cm, y se necesitan \( \frac{425 \times 275}{25^2} = 95 \) mosaicos. Si necesitas más detalles o aclaraciones sobre algún punto, házmelo saber.