Answer
a) \( f(x) = x^{2} + 2 \): Parabel 2 Einheiten nach oben verschoben, Scheitelpunkt bei (0, 2).
b) \( g(x) = (x + 1)^{2} \): Parabel 1 Einheit nach links verschoben, Scheitelpunkt bei (-1, 0).
c) \( h(x) = (x - 2)^{2} - 1 \): Parabel 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten verschoben, Scheitelpunkt bei (2, -1).
d) \( k(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{9}{4} \): Parabel \(\frac{1}{2}\) Einheit nach links und \(\frac{9}{4}\) Einheiten nach unten verschoben, Scheitelpunkt bei \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}\right)\).
Solution
Gerne beschreibe ich die Verschiebungen der gegebenen Funktionen gegenüber der Normalparabel \( y = x^2 \), gebe die jeweiligen Scheitelpunkte an und zeige die Graphen der Funktionen.
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### a) \( f(x) = x^{2} + 2 \)
**Verschiebung:**
- Die Parabel \( y = x^2 \) wird um 2 Einheiten nach oben verschoben.
**Scheitelpunkt:**
- \( S(0 \,|\, 2) \)
**Graph:**
\[
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y$};
\draw[domain=-2.5:2.5, smooth, variable=\x, blue] plot ({\x}, {\x*\x + 2});
\filldraw [red] (0,2) circle (2pt) node[above right] {$S(0\,|\,2)$};
\node at (2, 6) {$f(x) = x^{2} + 2$};
\end{tikzpicture}
\]
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### b) \( g(x) = (x + 1)^{2} \)
**Verschiebung:**
- Die Parabel \( y = x^2 \) wird 1 Einheit nach links verschoben.
**Scheitelpunkt:**
- \( S(-1 \,|\, 0) \)
**Graph:**
\[
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-4,0) -- (2,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y$};
\draw[domain=-3:1, smooth, variable=\x, blue] plot ({\x}, {(\x + 1)*(\x + 1)});
\filldraw [red] (-1,0) circle (2pt) node[above right] {$S(-1\,|\,0)$};
\node at (1, 6) {$g(x) = (x + 1)^{2}$};
\end{tikzpicture}
\]
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### c) \( h(x) = (x - 2)^{2} - 1 \)
**Verschiebung:**
- Die Parabel \( y = x^2 \) wird 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten verschoben.
**Scheitelpunkt:**
- \( S(2 \,|\, -1) \)
**Graph:**
\[
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-1,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3) -- (0,5) node[above] {$y$};
\draw[domain=0:4, smooth, variable=\x, blue] plot ({\x}, {(\x - 2)*(\x - 2) -1});
\filldraw [red] (2,-1) circle (2pt) node[above right] {$S(2\,|\, -1)$};
\node at (4, 6) {$h(x) = (x - 2)^{2} - 1$};
\end{tikzpicture}
\]
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### d) \( k(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{9}{4} \)
**Verschiebung:**
- Die Parabel \( y = x^2 \) wird \(\frac{1}{2}\) Einheit nach links und \(\frac{9}{4}\) Einheiten nach unten verschoben.
**Scheitelpunkt:**
- \( S\left(-\frac{1}{2} \,|\, -\frac{9}{4}\right) \)
**Graph:**
\[
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3) -- (0,5) node[above] {$y$};
\draw[domain=-2.5:1.5, smooth, variable=\x, blue] plot ({\x}, {(\x + 0.5)*(\x + 0.5) - 2.25});
\filldraw [red] (-0.5,-2.25) circle (2pt) node[above right] {$S\left(-\frac{1}{2}\,|\, -\frac{9}{4}\right)$};
\node at (2, 6) {$k(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{9}{4}$};
\end{tikzpicture}
\]
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**Erklärung der Verschiebungen:**
Die allgemeine Form einer Parabel ist \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei der Scheitelpunkt \( S(h \,|\, k) \) ist.
- **Horizontale Verschiebung:** Beeinflusst durch den Term innerhalb der Klammer (\(x \pm h\)).
- \( x + h \) verschiebt die Parabel \( h \) Einheiten nach links.
- \( x - h \) verschiebt die Parabel \( h \) Einheiten nach rechts.
- **Vertikale Verschiebung:** Beeinflusst durch den Term außerhalb der Klammer (\( + k \) oder \( - k \)).
- \( + k \) verschiebt die Parabel \( k \) Einheiten nach oben.
- \( - k \) verschiebt die Parabel \( k \) Einheiten nach unten.
Diese Verschiebungen ändern die Position des Scheitelpunkts der Parabel, während die Form der Parabel unverändert bleibt.
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
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