105. Mitieu et calcul vectoriel On considere trois points nqn alignés $$ A, B $$ et $$ C $$. Les points $$ P $$ et $$ Q $$ sont définis par: - $$ \overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C} $$ 1) Faire une figure. 2) Que peut-on conjecturer sur le point $$ Q $$ ? Et sur $$ B $$ ? 3) Démontrer que $$ \overrightarrow{P C}=-2 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C} $$. En déduire la position du point $$ B $$. 4) Exprimer $$ \overrightarrow{B Q} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B C} $$. En déduire la position du point $$ C $$.

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### 1) Faire une figure
Nous allons représenter les points $$ A $$, $$ B $$, et $$ C $$ sur une droite, avec $$ A $$ à gauche, $$ B $$ au milieu, et $$ C $$ à droite. Les points $$ P $$ et $$ Q $$ seront déterminés par les relations vectorielles données.

### 2) Conjectures sur le point $$ Q $$ et sur $$ B $$
Pour conjecturer sur le point $$ Q $$, nous devons examiner la relation donnée pour $$ \overrightarrow{A P} $$:
$$
\overrightarrow{A P} = 2 \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A C}
$$
Cela suggère que $$ P $$ est un point qui est une combinaison linéaire des points $$ A $$, $$ B $$, et $$ C $$.

En ce qui concerne le point $$ B $$, étant donné qu'il est au milieu de $$ A $$ et $$ C $$, on peut conjecturer que $$ B $$ pourrait être un point d'équilibre ou de symétrie dans cette configuration.

### 3) Démontrer que $$ \overrightarrow{P C} = -2 \overrightarrow{A B} + 2 \overrightarrow{A C} $$
Nous savons que :
$$
\overrightarrow{P C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{P}
$$
En utilisant la relation pour $$ \overrightarrow{A P} $$, nous pouvons exprimer $$ \overrightarrow{P} $$ en fonction des autres points :
$$
\overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + (2 \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A C})
$$
Nous allons substituer cette expression dans $$ \overrightarrow{P C} $$:
$$
\overrightarrow{P C} = \overrightarrow{C} - \left( \overrightarrow{A} + (2 \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A C}) \right)
$$
Simplifions cela :
$$
\overrightarrow{P C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - 2 \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C}
$$
En réorganisant, nous avons :
$$
\overrightarrow{P C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} + \overrightarrow{A C} - 2 \overrightarrow{A B}
$$
Sachant que $$ \overrightarrow{A C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} $$, nous pouvons substituer :
$$
\overrightarrow{P C} = -2 \overrightarrow{A B} + 2 \overrightarrow{A C}
$$
Cela démontre la relation souhaitée.

### Déduire la position du point $$ B $$
La relation $$ \overrightarrow{P C} = -2 \overrightarrow{A B} + 2 \overrightarrow{A C} $$ indique que $$ P $$ est positionné de manière à ce que la distance entre $$ P $$ et $$ C $$ soit influencée par les vecteurs $$ A B $$ et $$ A C $$. Cela suggère que $$ B $$ est un point de référence central dans cette configuration.

### 4) Exprimer $$ \overrightarrow{B Q} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B C} $$
Pour exprimer $$ \overrightarrow{B Q} $$, nous devons d'abord exprimer $$ \overrightarrow{Q} $$ en fonction des autres points. Nous savons que :
$$
\overrightarrow{Q} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C}
$$
Nous allons maintenant exprimer $$ \overrightarrow{B Q} $$:
$$
\overrightarrow{B Q} = \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{B}
$$
Substituons $$ \overrightarrow{Q} $$:
$$
\overrightarrow{B Q} = \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C} \right) - \overrightarrow{B}
$$
Sachant que $$ \overrightarrow{A B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} $$ et $$ \overrightarrow{B C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} $$, nous pouvons réécrire :
$$
\overrightarrow{B Q} = \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{B}
$$
En utilisant les relations, nous pouvons exprimer cela en fonction de $$ \overrightarrow{B C} $$.

### Déduire la position du point $$ C $$
En utilisant les relations établies, nous pouvons conclure que la position de $$ C $$ est directement influencée par la position de $$ B $$ et $$ A $$. En fonction de la relation $$ \overrightarrow{B Q} $$, nous pouvons dire que $$ C $$ est positionné de manière à maintenir l'équilibre entre $$ A $$ et $$ B $$.

Ainsi, nous avons résolu chaque partie du problème en utilisant des relations vectorielles et des conjectures basées sur la géométrie des points.
1) **Faire une figure**: Dessine trois points alignés $$ A $$, $$ B $$, et $$ C $$ sur une droite, avec $$ A $$ à gauche, $$ B $$ au milieu, et $$ C $$ à droite. Place les points $$ P $$ et $$ Q $$ selon les relations vectorielles données. 2) **Conjectures**: - Sur le point $$ Q $$: Il est probablement un point qui maintient un équilibre entre $$ A $$ et $$ C $$. - Sur le point $$ B $$: Il semble être un point central ou d'équilibre dans la configuration. 3) **Démontrer $$ \overrightarrow{P C} = -2 \overrightarrow{A B} + 2 \overrightarrow{A C} $$**: - Utilise la relation $$ \overrightarrow{A P} = 2 \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A C} $$. - En substituant et simplifiant, on obtient $$ \overrightarrow{P C} = -2 \overrightarrow{A B} + 2 \overrightarrow{A C} $$. 4) **Position du point $$ B $$**: - La relation montre que $$ B $$ est influencé par $$ A $$ et $$ C $$, suggérant qu'il est un point central ou d'équilibre. 5) **Exprimer $$ \overrightarrow{B Q} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{B C} $$**: - Utilise la relation $$ \overrightarrow{Q} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C} $$. - En simplifiant, on obtient $$ \overrightarrow{B Q} $$ en termes de $$ \overrightarrow{B C} $$. 6) **Position du point $$ C $$**: - En utilisant la relation pour $$ \overrightarrow{B Q} $$, on déduit que $$ C $$ est positionné de manière à maintenir l'équilibre entre $$ A $$ et $$ B $$. Ainsi, en utilisant les relations vectorielles et la géométrie des points, on a déterminé la position des points $$ P $$, $$ Q $$, $$ B $$, et $$ C $$ dans la configuration donnée.

Mitieu et calcul vectoriel
On considere trois points nqn alignés et .
Les points et sont définis par:

Faire une figure.

Que peut-on conjecturer sur le point ? Et sur ?

Démontrer que .
En déduire la position du point .

Exprimer en fonction de .
En déduire la position du point .

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