El conjunto de los números reales se simboliza con $$ R $$ y es la unión del conjunto de los números racionales simbolizado con $$ \mathbb{Q} $$ y el conjunto de los números irracionales simbolizado con I , es decir, $$ \mathbf{R}=\mathbf{Q} \mathbf{U} \mathbf{1} $$. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros; es decir de la forma $$ \frac{a}{b} $$ donde $$ a, b \in \mathbb{R} y b \neq 0 $$ y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periodicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas y su valor es: $$ e=2,7182818284590452353602874713527 \ldots $$ y este valor se puede deducir de una sumatoria. ¿Cuál es la sumatoria correspondiente al valor del número e? A. $$ e=\sum_{n=1}^{\infty} 2+\frac{1}{n!} $$ B. $$ e=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} $$ c. $$ e=\sum_{n=0}^{\infty} 2-\frac{1}{n!} $$ D. $$ c=\sum_{n=1}^{\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)^{n} $$

Question

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1. Recordamos que la representación clásica del número $$ e $$ es:

$$
e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
$$

2. Analicemos la opción B:

$$
e = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!}.
$$

Observemos que:

$$
\frac{n+1}{n!} = \frac{1}{n!} + \frac{n}{n!}.
$$

Entonces, la suma se descompone en:

$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!}.
$$

3. Sabemos que:

$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e.
$$

Para la serie $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!}$$, notamos que el término cuando $$n=0$$ es cero, por lo que:

$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!}.
$$

Además, para $$n \ge 1$$ se tiene:

$$
\frac{n}{n!} = \frac{1}{(n-1)!}.
$$

Si realizamos el cambio de índice mediante $$ m = n-1 $$, obtenemos:

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} = e.
$$

4. Por lo tanto:

$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} = e + e = 2e.
$$

5. Si multiplicamos por $$\frac{1}{2}$$:

$$
\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} = \frac{1}{2}(2e) = e.
$$

6. Concluimos que la opción correcta es la opción B:

$$
e = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!}.
$$
La sumatoria correcta para el número $$ e $$ es: $$ e = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} $$ Así, la respuesta es la opción B.

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