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El conjunto de los números reales se simboliza con \( R \) y es la unión del conjunto de los números racionales simbolizado con \( \mathbb{Q} \) y el conjunto de los números irracionales simbolizado con I , es decir, \( \mathbf{R}=\mathbf{Q} \mathbf{U} \mathbf{1} \). Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros; es decir de la forma \( \frac{a}{b} \) donde \( a, b \in \mathbb{R} y b \neq 0 \) y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periodicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas y su valor es: \( e=2,7182818284590452353602874713527 \ldots \) y este valor se puede deducir de una sumatoria. ¿Cuál es la sumatoria correspondiente al valor del número e? A. \[ e=\sum_{n=1}^{\infty} 2+\frac{1}{n!} \] B. \( e=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} \) c. \( e=\sum_{n=0}^{\infty} 2-\frac{1}{n!} \) D. \[ c=\sum_{n=1}^{\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)^{n} \]

Ask by Vaughan Chan. in Colombia
Mar 11,2025

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La sumatoria correcta para el número \( e \) es: \[ e = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} \] Así, la respuesta es la opción B.

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Beyond the Answer

La suma que corresponde al valor de \( e \) es la conocida serie de Taylor para \( e^x \) evaluada en \( x = 1 \), que se puede expresar así: \[ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \] No está directamente mencionada en las opciones, pero corresponde a la suma del valor del número e mediante la expansión en serie. ¡Es una manera asombrosa de ver cómo se relacionan los números irracionales con el análisis matemático! ¿Sabías que la constante \( e \) tiene aplicaciones en muchos campos más allá de las matemáticas puras? Es fundamental en el cálculo de intereses compuestos en finanzas, en la teoría de la probabilidad y en la física, especialmente en procesos de crecimiento y decaimiento exponencial. La forma en que \( e \) aparece en prácticamente cada rincón de la ciencia lo convierte en una verdadera estrella de la matemática. ¡Os recomiendo explorar más sobre sus aplicaciones!

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