5. Найти область сходимости данного ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^{n}}{3^{n} \cdot \sqrt{n^{6}+2}} \]

Чтобы найти область сходимости данного ряда, мы можем использовать тест на сходимость рядов, например, тест Даламбера (или тест отношения). Рассмотрим общий член ряда: \[ a_n = \frac{(x+3)^{n}}{3^{n} \cdot \sqrt{n^{6}+2}}. \] Теперь исчислим предел отношения: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(x+3)^{n+1}}{3^{n+1} \cdot \sqrt{(n+1)^{6}+2}} \cdot \frac{3^{n} \cdot \sqrt{n^{6}+2}}{(x+3)^{n}} = \frac{(x+3)}{3} \cdot \frac{\sqrt{n^{6}+2}}{\sqrt{(n+1)^{6}+2}}. \] При \( n \to \infty \) мы имеем: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{(x+3)}{3} \cdot 1 = \frac{(x+3)}{3}. \] Теперь по критерию сходимости, ряд сходится, если \[ \left|\frac{(x+3)}{3}\right| < 1. \] Это неравенство можно записать как: \[ |x+3| < 3. \] Решая его, получаем: \[ -3 < x + 3 < 3 \Rightarrow -6 < x < 0. \] Таким образом, область сходимости данного ряда — интервал \( (-6, 0) \). Чтобы проверить границы \( x = -6 \) и \( x = 0 \), можно подставить их в ряд и посмотреть, сходится ли он в этих точках. В итоге получаем область сходимости \( (-6, 0) \), но ряд может расходиться или сходиться в этих границах, поэтому проверяем эти значения отдельно.