5. Найти область сходимости данного ряда $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^{n}}{3^{n} \cdot \sqrt{n^{6}+2}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Представим общий член ряда в виде
$$
a_n(x)=\frac{(x+3)^n}{3^n \sqrt{n^6+2}} = \frac{1}{\sqrt{n^6+2}} \left(\frac{x+3}{3}\right)^n.
$$

2. Для нахождения области сходимости рассмотрим показательную часть ряда $$\left(\frac{x+3}{3}\right)^n$$. Применим признак корня:
$$
\rho=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|a_n(x)\right|} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n^6+2}}} \cdot \left|\frac{x+3}{3}\right|.
$$
Заметим, что
$$
\sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n^6+2}}}=\frac{1}{(n^6+2)^{1/(2n)}}.
$$
При $$n\to\infty$$ имеем
$$
(n^6+2)^{1/(2n)}\to 1,
$$
откуда
$$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n^6+2}}}=1.
$$
Таким образом,
$$
\rho=\left|\frac{x+3}{3}\right|.
$$

3. По критерию сходимости имеем сходимость ряда, если $$\rho<1$$, то есть
$$
\left|\frac{x+3}{3}\right|<1 \quad \Rightarrow \quad |x+3|<3.
$$
Это неравенство эквивалентно интервалу
$$
-3-31$$ сходятся), ряд сходится абсолютно.

- При $$x=0$$ получаем $$x+3=3$$, тогда
     \[
     a_n(0)=\frac{3^n}{3^n\sqrt{n^6+2}} = \frac{1}{\sqrt{n^6+2}}.
     $$
     Аналогично,
     $$
     \frac{1}{\sqrt{n^6+2}} \sim \frac{1}{n^3},
     $$
     что сходится по тому же признаку.

5. Таким образом, ряд сходится абсолютно при
$$
-6\le x\le 0.
$$

Ответ: Область сходимости ряда — $$[-6,0]$$.
Область сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^n}{3^n \sqrt{n^6+2}}$$ — это интервал $$[-6, 0]$$.

5. Найти область сходимости данного ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^{n}}{3^{n} \cdot \sqrt{n^{6}+2}} \]

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions