(2.0) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Dado el siguiente sistema de ccuaciones lineales:

a) (0.8) Halle valores para a y tal que el sistema no tenga solución.
b) (0.8) Halle valores de a y tal que el sistema tenga infintas soluciones. Expre-
sar la solución de forma vectorial como una solución particular más todas las
soluciones del sistema homogéneo.
c) (0.4) Halle valores para a y tal que el sistema tenga solución en
.

Ask by Nguyen Ramirez. in Colombia

Mar 23,2025

Question

(2.0) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Dado el siguiente sistema de ccuaciones lineales:

a) (0.8) Halle valores para a y tal que el sistema no tenga solución.
b) (0.8) Halle valores de a y tal que el sistema tenga infintas soluciones. Expre-
sar la solución de forma vectorial como una solución particular más todas las
soluciones del sistema homogéneo.
c) (0.4) Halle valores para a y tal que el sistema tenga solución en
.

Ask by Nguyen Ramirez. in Colombia

Mar 23,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\textbf{Sistema:} \quad
\begin{cases}
x+2y+a z=2 \quad (1)\[6mm]
2x+3y-2z=2 \quad (2)\[6mm]
3x+4y-4z=b \quad (3)
\end{cases}
$$

Procedemos a resolver el sistema mediante eliminación.

1. Multiplicamos la ecuación (1) por 2:
$$
2x+4y+2az=4.
$$
Restamos la ecuación (2):
$$
(2x+4y+2az)-(2x+3y-2z)=4-2,
$$
obteniendo:
$$
y+2(a+1)z =2 \quad \Longrightarrow \quad y=2-2(a+1)z.
$$

2. Sustituimos $$ y $$ en la ecuación (1):
$$
x+2\bigl[2-2(a+1)z\bigr]+az=2.
$$
Se tiene:
$$
x+4-4(a+1)z+az=2,
$$
de donde:
$$
x=-2+ \bigl[4(a+1)-a\bigr]z.
$$
Calculamos el coeficiente:
$$
4(a+1)-a=4a+4-a=3a+4.
$$
Entonces:
$$
x=-2+(3a+4)z.
$$

3. Sustituimos $$ x $$ y $$ y $$ en la ecuación (3):
$$
3x+4y-4z=b.
$$
Reemplazando:
$$
3\Bigl(-2+(3a+4)z\Bigr)+4\Bigl[2-2(a+1)z\Bigr]-4z=b.
$$
Desarrollamos:
$$
-6+3(3a+4)z+8-8(a+1)z-4z=b.
$$
Se simplifican constantes:
$$
-6+8=2.
$$
Y para $$ z $$:
$$
3(3a+4)z=9az+12z,\quad -8(a+1)z=-8az-8z.
$$
Por tanto:
$$
9az+12z-8az-8z-4z= (9a-8a)z+(12-8-4)z = az.
$$
La ecuación (3) se reduce a:
$$
2+az=b \quad \Longrightarrow \quad az=b-2.
$$

---

$$
\boxed{
az=b-2
}
$$

A partir de esta ecuación se analizan los casos.

### Apartado (a): No tiene solución

El sistema no tiene solución (es inconsistente) si la ecuación $$ az = b-2 $$ no es compatible con la parametrización obtenida. Analicemos:

- Si $$ a\neq 0 $$: entonces se puede determinar $$ z $$ como $$ z=\frac{b-2}{a} $$ y siempre hay solución única.
- Si $$ a=0 $$: la ecuación se reduce a:
  $$
  0\cdot z=b-2 \quad \Longrightarrow \quad b-2=0.
  $$
  Para que la ecuación sea consistente, se requiere $$ b=2 $$. Si $$ b\neq2 $$, la ecuación contradice (por ejemplo $$ 0=b-2$$ con $$b-2\neq0$$).

Por ello, el sistema no tiene solución cuando:
$$
\boxed{a=0 \quad \text{y} \quad b\neq 2.}
$$

---

### Apartado (b): Infinitas soluciones

Para que el sistema tenga infinitas soluciones, la ecuación $$ az=b-2 $$ debe ser una identidad (satisfecha para todo $$ z $$). Esto ocurre si:
$$
a=0 \quad \text{y} \quad b-2=0 \quad \Longrightarrow \quad b=2.
$$

Con $$ a=0 $$ y $$ b=2 $$, el sistema se reduce a:
$$
\begin{cases}
x+2y=2,\[3mm]
2x+3y-2z=2,\[3mm]
3x+4y-4z=2.
\end{cases}
$$

Ya habíamos obtenido, para $$ a=0 $$:
$$
y=2-2z, \quad x=4z-2.
$$

La solución vectorial se expresa parametrizando con $$ z $$ (parámetro libre, digamos $$ t=z $$):
$$
\begin{pmatrix}
x\[4mm]
y\[4mm]
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2\[4mm]
2\[4mm]
0
\end{pmatrix}
+t\begin{pmatrix}
4\[4mm]
-2\[4mm]
1
\end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb{R}.
$$

Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones si:
$$
\boxed{a=0,\quad b=2, \quad \text{y la solución es } \begin{pmatrix} x\ y\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\ 2\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 4\ -2\ 1 \end{pmatrix},\; t\in\mathbb{R}.}
$$

---

### Apartado (c): Solución en $$(1,2,3)$$

Se pide encontrar $$ a $$ y $$ b $$ tales que $$(x,y,z)=(1,2,3)$$ sea solución del sistema.

Sustituimos $$ x=1$$, $$ y=2$$ y $$ z=3$$ en cada ecuación:

1. En $$ x+2y+az=2 $$:
$$
1+2\cdot2+a\cdot3=1+4+3a=5+3a=2 \quad \Longrightarrow \quad 3a=2-5=-3 \quad \Longrightarrow \quad a=-1.
$$

2. En $$ 2x+3y-2z=2 $$:
$$
2\cdot1+3\cdot2-2\cdot3=2+6-6=2, \quad\text{(se verifica)}.
$$

3. En $$ 3x+4y-4z=b $$:
$$
3\cdot1+4\cdot2-4\cdot3=3+8-12=-1,
$$
por lo que $$ b=-1 $$.

La condición es:
$$
\boxed{a=-1, \quad b=-1.}
$$
Para que el sistema no tenga solución, $$ a = 0 $$ y $$ b \neq 2 $$. Para que tenga infinitas soluciones, $$ a = 0 $$ y $$ b = 2 $$, con la solución vectorial $$ \begin{pmatrix} -2 \ 2 \ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} $$ para cualquier $$ t $$. Para que la solución sea $$ (1, 2, 3) $$, $$ a = -1 $$ y $$ b = -1 $$.

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