$$ \int _{}^{}\int _{-1}^{2}(x-2) d x d $$

Question

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Consideremos la siguiente cuestión:

$$ \int \, \int_{-1}^{2}(x-2)\,dx\,d(\cdot) $$

Nótese que la notación indica una integral doble, pero no se especifica la variable de integración ni los límites para la integral exterior. Esto puede interpretarse de dos maneras:

1. Si el problema consiste únicamente en evaluar la integral interna
   $$
   I = \int_{-1}^{2}(x-2)\,dx,
   $$
   entonces resolveremos ese paso a paso.

2. Si se pretendía calcular una integral doble completa, falta información (la variable y los límites de integración de la segunda integral).

Procederemos a resolver el caso 1, es decir, calcularemos

$$
I = \int_{-1}^{2}(x-2)\,dx.
$$

**Paso 1. Encontrar la antiderivada**

La función integrando es $$x-2$$. Su antiderivada es:

$$
F(x) = \int (x-2)\,dx = \frac{x^2}{2} - 2x.
$$

**Paso 2. Evaluar en los límites de integración**

Evaluamos $$F(x)$$ en $$x=2$$ y en $$x=-1$$:

- Para $$x=2$$:
  $$
  F(2) = \frac{2^2}{2} - 2\cdot 2 = \frac{4}{2} - 4 = 2 - 4 = -2.
  $$

- Para $$x=-1$$:
  $$
  F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} - 2\cdot (-1) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2}.
  $$

**Paso 3. Calcular la diferencia para obtener el valor de la integral**

Utilizamos el teorema fundamental del cálculo:

$$
I = F(2) - F(-1) = (-2) - \left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{4}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{9}{2}.
$$

Por lo tanto, la integral interna vale

$$
I = -\frac{9}{2}.
$$

**Conclusión**

- Si se trataba solo de evaluar la integral interna, la respuesta es

$$
  \boxed{-\frac{9}{2}}.
  $$

- Si se pretendía evaluar una integral doble completa, es necesario contar con la información adicional de la variable y los límites de integración de la integral exterior.
La integral $$ \int_{-1}^{2}(x-2)\,dx $$ se evalúa como $$ -\frac{9}{2} $$.

\( \int _{}^{}\int _{-1}^{2}(x-2) d x d \)

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