Aşağıdaki kutuların içine \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{8}, \sqrt{12} \) sayııarı, her kutuya farkıı bir sayı gelecek şekilde yerleştirildiğınde A bir tam sayı olmaktadır. \( \square \cdot(\square+\square) \cdot(\square+\square)=A \) Buna göre, A kaçtır?

Verilen ifadeyi inceleyelim: \[ A = \square \cdot (\square + \square) \cdot (\square + \square) \] Burada kutulara yerleştireceğimiz sayılar \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{8}, \sqrt{12} \) olacak. Öncelikle bu sayıların kareköklerini hesaplayalım: - \( \sqrt{2} \) - \( \sqrt{3} \) - \( \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \) - \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \) - \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \) Şimdi, \( A \) ifadesini tam sayı yapacak şekilde kutulara bu sayıları yerleştirelim. İfadenin yapısını inceleyelim: \[ A = x \cdot (y + z) \cdot (w + v) \] Burada \( x, y, z, w, v \) kutulara yerleştirilecek sayılardır. Tam sayı elde etmek için \( x \) sayısının bir tam sayı olması ve \( (y + z) \) ve \( (w + v) \) toplamlarının da tam sayı olması gerekir. Önerilen bir yerleştirme: - \( x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) - \( y = \sqrt{2} \) - \( z = \sqrt{2} \) - \( w = \sqrt{3} \) - \( v = \sqrt{3} \) Bu durumda: \[ A = 2\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{3}) \] Hesaplayalım: \[ \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] \[ \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] Şimdi \( A \) ifadesini yazalım: \[ A = 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} \] Bu ifadeyi sadeleştirelim: \[ A = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 16\sqrt{3} \] Ancak \( A \) tam sayı olmalıdır. Bu durumda farklı bir yerleştirme denememiz gerekiyor. Başka bir yerleştirme deneyelim: - \( x = \sqrt{6} \) - \( y = \sqrt{2} \) - \( z = \sqrt{3} \) - \( w = \sqrt{2} \) - \( v = \sqrt{3} \) Bu durumda: \[ A = \sqrt{6} \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3}) \] Burada \( (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6} \) olur. Sonuç olarak: \[ A = \sqrt{6} \cdot (5 + 2\sqrt{6}) = 5\sqrt{6} + 12 \] Bu da tam sayı değil. Son olarak, \( x = \sqrt{12} \), \( y = \sqrt{2} \), \( z = \sqrt{2} \), \( w = \sqrt{3} \), \( v = \sqrt{3} \) yerleştirmesini deneyelim: \[ A = \sqrt{12} \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{3}) = \sqrt{12} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} \] Buradan: \[ A = \sqrt{12} \cdot 4\sqrt{6} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = 8 \cdot 6 = 48 \] Sonuç olarak, \( A \) tam sayı olarak: \[ \boxed{48} \] olur.