Answer
а) Функция достигает максимума z = 21 в точке (4, –5).
б) Функция имеет минимум z = 0 в точке (1, –2) и седловую точку в точке (–1/9, 2/9).
Solution
Рассмотрим по пунктам.
─────────────────────────────
а) Функция
z = –x² – x y – y² + 3x – 6y
1. Найдём критические точки, для которых первые производные равны нулю.
• Частная производная по x:
∂z/∂x = –2x – y + 3 = 0 (1)
• Частная производная по y:
∂z/∂y = –x – 2y – 6 = 0 (2)
2. Выразим y из (1):
–2x – y + 3 = 0 ⟹ y = 3 – 2x
3. Подставим y = 3 – 2x в (2):
–x – 2(3 – 2x) – 6 = 0
–x – 6 + 4x – 6 = 0
3x – 12 = 0 ⟹ x = 4
Тогда y = 3 – 2·4 = 3 – 8 = –5.
Таким образом, критическая точка: (4, –5).
4. Определим характер экстремума. Для этого запишем вторые производные:
zₓₓ = –2, z_yy = –2, zₓy = –1.
Гессиан H = | –2 –1 |
| –1 –2 |.
Определитель Гессиана:
Δ = (–2)(–2) – (–1)² = 4 – 1 = 3 > 0.
При этом zₓₓ < 0, следовательно, функция в точке (4, –5) имеет локальный (и для квадратичной функции – глобальный) максимум.
5. Значение функции в точке (4, –5):
z(4, –5) = –(4)² – (4)(–5) – (–5)² + 3·4 – 6·(–5)
= –16 + 20 – 25 + 12 + 30
= 21.
Ответ по пункту (а):
Функция достигает максимума z = 21 в точке (4, –5).
─────────────────────────────
б) Функция
z = 3x³ + y² + 4xy – x + 2
1. Найдём критические точки, для которых первые производные равны нулю.
• Вычисляем частные производные:
∂z/∂x = 9x² + 4y – 1,
∂z/∂y = 2y + 4x.
2. Приравниваем ∂z/∂y к нулю:
2y + 4x = 0 ⟹ y = –2x.
3. Подставляем y = –2x в уравнение ∂z/∂x:
9x² + 4(–2x) – 1 = 0
9x² – 8x – 1 = 0.
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант D = (–8)² – 4·9·(–1) = 64 + 36 = 100.
Корни:
x = [8 ± 10] / (18).
Получаем два решения:
x₁ = (8 + 10)/18 = 18/18 = 1, y₁ = –2·1 = –2;
x₂ = (8 – 10)/18 = –2/18 = –1/9, y₂ = –2·(–1/9) = 2/9.
Таким образом, критические точки: (1, –2) и (–1/9, 2/9).
4. Определим характер критических точек с помощью второго дифференциала.
Найдём вторые производные:
zₓₓ = 18x, z_yy = 2, zₓy = 4.
• В точке (1, –2):
zₓₓ = 18,
Гессиан H₁ = | 18 4 |
| 4 2 |.
Определитель H₁ = (18)(2) – (4)² = 36 – 16 = 20 > 0.
При этом zₓₓ = 18 > 0, следовательно, в точке (1, –2) локальный минимум.
Найдём значение функции:
z(1, –2) = 3·1³ + (–2)² + 4·1·(–2) – 1 + 2
= 3 + 4 – 8 – 1 + 2 = 0.
• В точке (–1/9, 2/9):
zₓₓ = 18·(–1/9) = –2,
Гессиан H₂ = | –2 4 |
| 4 2 |.
Определитель H₂ = (–2)(2) – (4)² = –4 – 16 = –20 < 0.
Отрицательный определитель Гессиана указывает на седловую точку.
Ответ по пункту (б):
Функция имеет локальный минимум z = 0 в точке (1, –2) и седловую точку в точке (–1/9, 2/9).
─────────────────────────────
Итоговый ответ:
а) Функция z = –x² – x y – y² + 3x – 6y имеет максимум z = 21 в точке (4, –5).
б) Функция z = 3x³ + y² + 4xy – x + 2 имеет локальный минимум z = 0 в точке (1, –2) и седловую точку в точке (–1/9, 2/9).
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
Explain
Simplify this solution
