Data la parabola di equazione $$ y=x^{2}+4 x+6 $$ determina le equazioni delle rette passanti per $$ P(-4 ; 5) $$ e tangenti alla parabola.

Question

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Sia data la parabola

$$
y = x^2 + 4x + 6
$$

e il punto

$$
P(-4, 5).
$$

Cerchiamo l'equazione della retta tangente alla parabola e passante per $$P$$.

1. Impostiamo l'equazione di una retta generica passante per $$P(-4, 5)$$ in forma punto-pendenza:

$$
y - 5 = m (x + 4).
$$

Da cui si ottiene

$$
y = m (x + 4) + 5.
$$

2. Perché la retta sia tangente alla parabola, il sistema formato dalla retta e dalla parabola

$$
\begin{cases}
y = x^2 + 4x + 6 \[1mm]
y = m(x+4)+5
\end{cases}
$$

deve avere una soluzione doppia (ovvero l'equazione risultante in $$x$$ deve avere discriminante nullo).

3. Sostituiamo $$y$$ dall'equazione della retta nell'equazione della parabola:

$$
m(x+4) + 5 = x^2 + 4x + 6.
$$

Riscriviamo l'equazione in forma standard:

$$
x^2 + 4x + 6 - m(x+4) - 5 = 0.
$$

Semplificando:

$$
x^2 + 4x - m x - 4m + 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x^2 + (4-m)x + (1-4m) = 0.
$$

4. Affinché la retta sia tangente, il discriminante $$ \Delta $$ di questa equazione deve essere nullo:

$$
\Delta = (4-m)^2 - 4\cdot1\cdot(1-4m) = 0.
$$

Calcoliamo il discriminante:

$$
(4-m)^2 = 16 - 8m + m^2,
$$

$$
4(1-4m) = 4 - 16m.
$$

Quindi

$$
16 - 8m + m^2 - (4 - 16m) = m^2 + 8m + 12 = 0.
$$

5. Risolviamo l'equazione quadratica in $$m$$:

$$
m^2 + 8m + 12 = 0.
$$

Utilizziamo la formula risolutiva:

$$
m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 \pm 4}{2}.
$$

Da cui otteniamo:

$$
m_1 = \frac{-8 + 4}{2} = -2 \quad \text{e} \quad m_2 = \frac{-8 - 4}{2} = -6.
$$

6. Con questi valori di $$m$$ otteniamo le due equazioni delle rette:

- Per $$m = -2$$:

$$
y - 5 = -2(x+4) \quad \Longrightarrow \quad y = -2x -8 + 5 \quad \Longrightarrow \quad y = -2x -3.
$$

- Per $$m = -6$$:

$$
y - 5 = -6(x+4) \quad \Longrightarrow \quad y = -6x -24 + 5 \quad \Longrightarrow \quad y = -6x -19.
$$

Pertanto, le equazioni delle rette tangenti alla parabola e passanti per $$P(-4; 5)$$ sono

$$
\boxed{y = -2x - 3 \quad \text{e} \quad y = -6x - 19.}
$$
Le rette tangenti alla parabola $$ y = x^2 + 4x + 6 $$ che passano per il punto $$ P(-4, 5) $$ sono: 1. $$ y = -2x - 3 $$ 2. $$ y = -6x - 19 $$

Data la parabola di equazione \( y=x^{2}+4 x+6 \) determina le equazioni delle rette passanti per \( P(-4 ; 5) \) e tangenti alla parabola.

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