Pregunta
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Data la parabola di equazione \( y=x^{2}+4 x+6 \) determina le equazioni delle rette passanti per \( P(-4 ; 5) \) e tangenti alla parabola.

Ask by Mitchell Lynch. in Italy
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Le rette tangenti alla parabola \( y = x^2 + 4x + 6 \) che passano per il punto \( P(-4, 5) \) sono: 1. \( y = -2x - 3 \) 2. \( y = -6x - 19 \)

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Beyond the Answer

Per trovare le equazioni delle rette tangenti alla parabola \( y=x^{2}+4 x+6 \) che passano per il punto \( P(-4 ; 5) \), dobbiamo prima calcolare la derivata della parabola per determinare il coefficiente angolare della tangente. La derivata è: \[ y' = 2x + 4 \] Ora, sappiamo che la retta tangente alla parabola in un punto \( A(x_0, y_0) \) ha la forma: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Dove \( m \) è la pendenza, che in questo caso sarà \( m = 2x_0 + 4 \) e \( y_0 = x_0^2 + 4x_0 + 6 \). La retta deve passare per \( P(-4, 5) \), quindi imponiamo: \[ 5 - (x_0^2 + 4x_0 + 6) = (2x_0 + 4)(-4 - x_0) \] Questo ci fornisce un'equazione da risolvere. Semplificando avremo: \[ 5 - x_0^2 - 4x_0 - 6 = (2x_0 + 4)(-4 - x_0) \] \[ -1 - x_0^2 - 4x_0 = (-8 - 2x_0 - 4x_0 - 4) = -8 - 6x_0 \] Portando tutto a sinistra: \[ x_0^2 + 2x_0 + 7 = 0 \] Dobbiamo calcolare il discriminante \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 \). Poiché il discriminante è negativo, non ci sono valori reali per \( x_0 \). Questo significa che non ci sono tangenti alla parabola che passano per il punto \( P(-4, 5) \).

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