Data la parabola di equazione \( y=x^{2}+4 x+6 \) determina le equazioni delle rette passanti per \( P(-4 ; 5) \) e tangenti alla parabola.

Sia data la parabola \[ y = x^2 + 4x + 6 \] e il punto \[ P(-4, 5). \] Cerchiamo l'equazione della retta tangente alla parabola e passante per \(P\). 1. Impostiamo l'equazione di una retta generica passante per \(P(-4, 5)\) in forma punto-pendenza: \[ y - 5 = m (x + 4). \] Da cui si ottiene \[ y = m (x + 4) + 5. \] 2. Perché la retta sia tangente alla parabola, il sistema formato dalla retta e dalla parabola \[ \begin{cases} y = x^2 + 4x + 6 \\[1mm] y = m(x+4)+5 \end{cases} \] deve avere una soluzione doppia (ovvero l'equazione risultante in \(x\) deve avere discriminante nullo). 3. Sostituiamo \(y\) dall'equazione della retta nell'equazione della parabola: \[ m(x+4) + 5 = x^2 + 4x + 6. \] Riscriviamo l'equazione in forma standard: \[ x^2 + 4x + 6 - m(x+4) - 5 = 0. \] Semplificando: \[ x^2 + 4x - m x - 4m + 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x^2 + (4-m)x + (1-4m) = 0. \] 4. Affinché la retta sia tangente, il discriminante \( \Delta \) di questa equazione deve essere nullo: \[ \Delta = (4-m)^2 - 4\cdot1\cdot(1-4m) = 0. \] Calcoliamo il discriminante: \[ (4-m)^2 = 16 - 8m + m^2, \] \[ 4(1-4m) = 4 - 16m. \] Quindi \[ 16 - 8m + m^2 - (4 - 16m) = m^2 + 8m + 12 = 0. \] 5. Risolviamo l'equazione quadratica in \(m\): \[ m^2 + 8m + 12 = 0. \] Utilizziamo la formula risolutiva: \[ m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 \pm 4}{2}. \] Da cui otteniamo: \[ m_1 = \frac{-8 + 4}{2} = -2 \quad \text{e} \quad m_2 = \frac{-8 - 4}{2} = -6. \] 6. Con questi valori di \(m\) otteniamo le due equazioni delle rette: - Per \(m = -2\): \[ y - 5 = -2(x+4) \quad \Longrightarrow \quad y = -2x -8 + 5 \quad \Longrightarrow \quad y = -2x -3. \] - Per \(m = -6\): \[ y - 5 = -6(x+4) \quad \Longrightarrow \quad y = -6x -24 + 5 \quad \Longrightarrow \quad y = -6x -19. \] Pertanto, le equazioni delle rette tangenti alla parabola e passanti per \(P(-4; 5)\) sono \[ \boxed{y = -2x - 3 \quad \text{e} \quad y = -6x - 19.} \]