Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni \( \log _{10}(x-2)+\log _{10}(2 x-3)=2 \log _{10} x \)

Per risolvere l'equazione \( \log_{10}(x-2) + \log_{10}(2x-3) = 2 \log_{10} x \), possiamo innanzitutto applicare le proprietà dei logaritmi. L'equazione può essere riscritta come: \[ \log_{10}((x-2)(2x-3)) = \log_{10}(x^2) \] Utilizzando la proprietà che afferma che se \(\log_b(a) = \log_b(c)\), allora \(a = c\), otteniamo: \[ (x-2)(2x-3) = x^2 \] Sviluppando il lato sinistro dell'equazione: \[ 2x^2 - 3x - 4x + 6 = x^2 \] Questo semplifica a: \[ 2x^2 - 7x + 6 = x^2 \] Riordinando i termini, otteniamo: \[ x^2 - 7x + 6 = 0 \] Questa è un'equazione quadratica che possiamo risolvere usando la formula quadratica o fattorizzando. Procediamo con la fattorizzazione: \[ (x - 6)(x - 1) = 0 \] Da questo, otteniamo le soluzioni: \[ x = 6 \quad \text{e} \quad x = 1 \] Tuttavia, dobbiamo verificare che queste soluzioni rispettino le condizioni iniziali del logaritmo. Ricordiamo che il logaritmo è definito solo per argomenti maggiori di zero. Per \(x = 6\): \[ x - 2 = 4 > 0 \quad \text{e} \quad 2x - 3 = 9 > 0 \] Per \(x = 1\): \[ x - 2 = -1 \quad \text{(non valido)} \quad \text{e} \quad 2x - 3 = -1 \quad \text{(non valido)} \] Quindi, l'unica soluzione valida è \(x = 6\).