$$ r=3 \mathrm{~cm} \vee heta=\frac{\pi}{3} $$ $$ r=5 \mathrm{~cm} $$ y $$ heta=\frac{3 \pi}{2} $$ $$ r=2 \mathrm{~cm} y heta=\frac{5 \pi}{4} $$ $$ r=4 \mathrm{~cm} \vee heta=222^{\circ} $$ $$ r=\frac{5}{2} \mathrm{~cm} $$ y $$ heta=315^{\circ} $$ $$ r=4,6 \mathrm{~cm} y heta=150^{\circ} $$ $$ r $$

Question

$$ r=3 \mathrm{~cm} \vee 	heta=\frac{\pi}{3} $$ $$ r=5 \mathrm{~cm} $$ y $$ 	heta=\frac{3 \pi}{2} $$ $$ r=2 \mathrm{~cm} y 	heta=\frac{5 \pi}{4} $$ $$ r=4 \mathrm{~cm} \vee 	heta=222^{\circ} $$ $$ r=\frac{5}{2} \mathrm{~cm} $$ y $$ 	heta=315^{\circ} $$ $$ r=4,6 \mathrm{~cm} y 	heta=150^{\circ} $$ $$ r $$

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Dado un punto en coordenadas polares $$\left( r,\theta \right)$$, las coordenadas rectangulares $$\left( x,y \right)$$ se obtienen utilizando las fórmulas  
   $$
   x = r \cos \theta \quad \text{y} \quad y = r \sin \theta.
   $$

2. Para $$ r=3\,\mathrm{cm} $$ y $$\theta=\frac{\pi}{3}$$:  
   - $$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$$ y $$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.  
   - Calculamos  
     $$
     x = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5,\quad y = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598.
     $$
   - Por tanto, las coordenadas rectangulares son $$\left( 1.5,\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)$$.

3. Para $$ r=5\,\mathrm{cm} $$ y $$\theta=\frac{3\pi}{2}$$:  
   - Se tiene $$\cos\frac{3\pi}{2}=0$$ y $$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$$.  
   - Entonces,  
     $$
     x =5\cdot 0=0,\quad y =5\cdot (-1)=-5.
     $$
   - Así, las coordenadas rectangulares son $$(0,-5)$$.

4. Para $$ r=2\,\mathrm{cm} $$ y $$\theta=\frac{5\pi}{4}$$:  
   - Como $$\frac{5\pi}{4}$$ está en el tercer cuadrante, se tiene $$\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ y $$\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$.  
   - Se calcula  
     $$
     x = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2},\quad y = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}.
     $$
   - Por ello, las coordenadas rectangulares son $$\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$$.

5. Para $$ r=4\,\mathrm{cm} $$ y $$\theta=222^{\circ}$$:  
   - Primero se observa que $$222^{\circ}$$ está en el tercer cuadrante.  
   - Usando calculadora o tablas, se obtiene aproximadamente  
     $$\cos 222^{\circ} \approx -0.743$$ y $$\sin 222^{\circ} \approx -0.669$$.  
   - Entonces,  
     $$
     x = 4(-0.743) \approx -2.972,\quad y = 4(-0.669) \approx -2.676.
     $$
   - Las coordenadas rectangulares son aproximadamente $$(-2.97,-2.68)$$.

6. Para $$ r=\frac{5}{2}\,\mathrm{cm} $$ y $$\theta=315^{\circ}$$:  
   - Se sabe que $$\cos315^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ y $$\sin315^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$.  
   - Procedemos:  
     $$
     x = \frac{5}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{4},\quad y = \frac{5}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{2}}{4}.
     $$
   - Por ello, las coordenadas rectangulares son $$\left(\frac{5\sqrt{2}}{4}, -\frac{5\sqrt{2}}{4}\right)$$.

7. Para $$ r=4.6\,\mathrm{cm} $$ y $$\theta=150^{\circ}$$:  
   - Se tiene que $$\cos 150^{\circ}=\cos(180^{\circ}-30^{\circ})=-\cos 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ y $$\sin 150^{\circ}=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$$.  
   - Se calcula:  
     $$
     x = 4.6\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{4.6\sqrt{3}}{2},\quad y = 4.6\left(\frac{1}{2}\right)=2.3.
     $$
   - Así, las coordenadas rectangulares son $$\left(-\frac{4.6\sqrt{3}}{2},2.3\right)$$.

8. La última entrada únicamente muestra $$ r $$; al no acompañarse de valor o ángulo no se puede proceder a ninguna conversión.
1. $$ r=3\,\mathrm{cm},\theta=\frac{\pi}{3} $$: $$(1.5, 2.598)$$ 2. $$ r=5\,\mathrm{cm},\theta=\frac{3\pi}{2} $$: $$(0, -5)$$ 3. $$ r=2\,\mathrm{cm},\theta=\frac{5\pi}{4} $$: $$(-1.414, -1.414)$$ 4. $$ r=4\,\mathrm{cm},\theta=222^{\circ} $$: $$(-2.97, -2.68)$$ 5. $$ r=\frac{5}{2}\,\mathrm{cm},\theta=315^{\circ} $$: $$(1.768, -1.768)$$ 6. $$ r=4.6\,\mathrm{cm},\theta=150^{\circ} $$: $$(-3.97, 2.3)$$ 7. $$ r $$ sin ángulo: No se puede convertir.

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