Un triangolo rettangolo ha l'area di \( 480 \mathrm{~cm}^{2} \). Calcola la misura dei cateti sapendo che sono uno i \( \frac{5}{12} \) dell'altro. \( \quad[20 \mathrm{~cm} ; 48 \mathrm{~cm}] \)

Sia \( a \) e \( b \) i cateti del triangolo rettangolo, con \( a \) che è \( \frac{5}{12} \) dell'altro cateto \( b \). Possiamo esprimere \( a \) in funzione di \( b \): \[ a = \frac{5}{12} b \] L'area \( A \) di un triangolo rettangolo è data dalla formula: \[ A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Sappiamo che l'area è \( 480 \, \text{cm}^2 \), quindi possiamo scrivere: \[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 480 \] Sostituendo \( a \) con \( \frac{5}{12} b \): \[ \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{5}{12} b\right) \cdot b = 480 \] Semplificando l'equazione: \[ \frac{5}{24} b^2 = 480 \] Moltiplichiamo entrambi i lati per 24 per eliminare il denominatore: \[ 5b^2 = 11520 \] Dividiamo entrambi i lati per 5: \[ b^2 = 2304 \] Ora calcoliamo \( b \): \[ b = \sqrt{2304} = 48 \, \text{cm} \] Ora possiamo trovare \( a \): \[ a = \frac{5}{12} b = \frac{5}{12} \cdot 48 = 20 \, \text{cm} \] Quindi, le misure dei cateti sono: \[ a = 20 \, \text{cm} \quad \text{e} \quad b = 48 \, \text{cm} \] In conclusione, i cateti del triangolo rettangolo sono \( 20 \, \text{cm} \) e \( 48 \, \text{cm} \).