1. Construis les courbes représentatives respec- tives $$ (\mathscr{C}) $$ et $$ \left(\mathscr{C}_{g}\right) $$ des fonctions $$ f $$ et $$ g $$ définies sur $$ \mathbb{R}^{*} $$ par $$ : g(x)=x-2 $$ et $$ h(x)=\frac{1}{x} $$. 2. Compare graphiquement les courbes $$ \left(\mathscr{C}_{\mathcal{C}}\right) $$ et $$ \left(\mathscr{C}_{\mathcal{G}}\right) $$. 3. Vérifie les résultats algébriquement.

Question

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1. **Construction des courbes représentatives** La première fonction est $$ g(x)=x-2, $$ qui est une droite d’équation cartésienne. Pour construire sa courbe représentative $$ \mathscr{C}_{g} $$ : - La pente est $$ 1 $$. - L’ordonnée à l’origine est $$ -2 $$ (la droite coupe l’axe des ordonnées en $$ (0,-2) $$). - Un second point peut être obtenu en calculant, par exemple, $$ g(2)=2-2=0 $$ soit le point $$ (2,0) $$. La deuxième fonction est $$ h(x)=\frac{1}{x}, $$ définie sur $$ \mathbb{R}^{*} $$ (tous les réels sauf 0). Sa courbe représentative $$ \mathscr{C} $$ possède des caractéristiques classiques : - Une asymptote verticale en $$ x=0 $$. - Une asymptote horizontale en $$ y=0 $$. - Deux branches, l’une dans le demi-plan où $$ x>0 $$ et $$ y>0 $$ si $$ x>0 $$, l’autre dans le demi-plan où $$ x<0 $$ et $$ y<0 $$ (ou inversement selon la convention graphique). 2. **Comparaison graphique des courbes** Pour comparer graphiquement $$ \mathscr{C} $$ (celle de $$ h(x)=\frac{1}{x} $$) et $$ \mathscr{C}_{g} $$ (celle de $$ g(x)=x-2 $$), on considère : - La droite $$ g(x)=x-2 $$ est continue sur $$ \mathbb{R} $$ et possède une inclinaison constante. Elle croise l’axe des abscisses en trouvant $$ x $$ tel que $$ x-2=0 $$, c’est-à-dire en $$ (2,0) $$. - La courbe de $$ h(x)=\frac{1}{x} $$ est hyperbolique et présente des asymptotes (verticale $$ x=0 $$ et horizontale $$ y=0 $$). Graphiquement, on remarquera que les deux courbes se coupent en deux points (si l’on trace les deux sur le même repère). Ces points d’intersection correspondent aux solutions de l’équation $$ x-2=\frac{1}{x}. $$ 3. **Vérification algébrique des intersections** Pour trouver algébriquement les points d’intersection, on doit résoudre l’équation $$ x-2=\frac{1}{x}. $$ Procédons étape par étape : a) Multiplier l’équation par $$ x $$ (en utilisant que $$ x\neq 0 $$) : $$ x(x-2)=1. $$ b) Développer le membre de gauche : $$ x^2-2x=1. $$ c) Mettre l’équation sous forme canonique en ramenant $$ 1 $$ à gauche : $$ x^2-2x-1=0. $$ d) Calculer le discriminant $$ \Delta $$ de cette équation quadratique : $$ \Delta = (-2)^2-4\times1\times(-1)=4+4=8. $$ e) Appliquer la formule quadratique pour obtenir : $$ x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}. $$ f) Simplifier $$ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ : $$ x=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}. $$ Ainsi, les deux solutions sont $$ x_{1}=1+\sqrt{2} \quad \text{et} \quad x_{2}=1-\sqrt{2}. $$ Pour trouver les coordonnées complètes, calculons les ordonnées correspondantes : - Pour $$ x_{1}=1+\sqrt{2} $$ : $$ y_{1}=g(x_{1})=(1+\sqrt{2})-2=\sqrt{2}-1. $$ On obtient ainsi le point d’intersection $$ \left(1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1\right). $$ - Pour $$ x_{2}=1-\sqrt{2} $$ : $$ y_{2}=g(x_{2})=(1-\sqrt{2})-2=-1-\sqrt{2}. $$ On obtient le point $$ \left(1-\sqrt{2},-1-\sqrt{2}\right). $$ Ces points d’intersection vérifient bien l’égalité $$ x-2=\frac{1}{x} $$, ce qui confirme algébriquement l’intersection des courbes $$ \mathscr{C} $$ et $$ \mathscr{C}_{g} $$. 1. **Construction des courbes représentatives** - **Fonction $$ g(x) = x - 2 $$**: - Droite avec pente 1 et coupant l'axe des ordonnées en $$ (0, -2) $$. - Point supplémentaire : $$ (2, 0) $$. - **Fonction $$ h(x) = \frac{1}{x} $$**: - Hyperbole avec asymptotes verticale en $$ x = 0 $$ et horizontale en $$ y = 0 $$. - Deux branches dans les demi-plans $$ x > 0 $$ et $$ y > 0 $$, et $$ x < 0 $$ et $$ y < 0 $$. 2. **Comparaison graphique** - Les deux courbes se coupent en deux points. - Ces points d'intersection correspondent aux solutions de l'équation $$ x - 2 = \frac{1}{x} $$. 3. **Vérification algébrique** - Résolution de $$ x - 2 = \frac{1}{x} $$ : - Multiplie par $$ x $$ : $$ x^2 - 2x = 1 $$. - Équation quadratique : $$ x^2 - 2x - 1 = 0 $$. - Discriminant $$ \Delta = 8 $$. - Solutions : $$ x = 1 \pm \sqrt{2} $$. - Points d'intersection : $$ \left(1 + \sqrt{2}, \sqrt{2} - 1\right) $$ et $$ \left(1 - \sqrt{2}, -1 - \sqrt{2}\right) $$. Ces points confirment que les courbes $$ \mathscr{C} $$ et $$ \mathscr{C}_{g} $$ se coupent bien en deux endroits.

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