1. Zapiši enačbo elipse, ki ima eno gorišče v koordinatnem izhodišču, drugo pa v središču krožnice $$ z $$ enačbo $$ x^{2}+y^{2}-12 x-4=0 $$, če veš, da se elipsa dotika premice $$ x=-2 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Najprej poiščemo središče krožnice z enačbo
$$
x^{2}+y^{2}-12x-4=0.
$$
Dokončamo kvadrat za $$x$$:
$$
x^{2}-12x = (x-6)^2 - 36,
$$
torej enačbo preoblikujemo v
$$
(x-6)^2 + y^2 - 36 - 4 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-6)^2 + y^2 = 40.
$$
Središče krožnice je torej $$ (6,0) $$ (preostali člen $$y^2$$ kaže, da $$y$$ komponenta nima premika).

Ker ima elipsa eno gorišče v koordinatnem izhodišču $$(0,0)$$ in drugo gorišče v središču dane krožnice $$(6,0)$$, so gorišča:
$$
F_1 = (0,0), \quad F_2 = (6,0).
$$

Središče elipse je torej sredina med goriščema:
$$
\left(\frac{0+6}{2},\frac{0+0}{2}\right) = (3,0).
$$
Ker sta gorišča na osi $$x$$, je glavna os elipse vodoravna in standardni zapis elipse je
$$
\frac{(x-3)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
$$
Označimo $$c$$ kot razdaljo od središča do gorišča. Iz $$F_1$$ in središča $$(3,0)$$ dobimo:
$$
c = 3.
$$
Povezava med parametri je
$$
c^2 = a^2 - b^2.
$$

Elipso opazimo, da se dotika premice $$ x=-2 $$. Pri elipsi z vodoravno osjo je najvišja oddaljenost v levo dane središča $$x-3 - a$$. To pomeni, da je leva težiščna točka ravno na premici $$x=-2$$:
$$
3 - a = -2 \quad \Longrightarrow \quad a = 5.
$$

Sedaj uporabimo zvezo med $$a$$, $$b$$ in $$c$$:
$$
3^2 = 5^2 - b^2 \quad \Longrightarrow \quad 9 = 25 - b^2 \quad \Longrightarrow \quad b^2 = 16.
$$

Tako je končna enačba elipse:
$$
\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.
$$
The equation of the ellipse is $$\frac{(x-3)^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$.

1. Zapiši enačbo elipse, ki ima eno gorišče v koordinatnem izhodišču, drugo pa v središču krožnice \( z \) enačbo \( x^{2}+y^{2}-12 x-4=0 \), če veš, da se elipsa dotika premice \( x=-2 \).

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Geometry Questions