e) Un terrain rectangulaire a un périmètre de 110 m . On diminue sa longueur de 1 m et on augmente sa largeur de 1 m . Son aire augmente ainsi de \( 4 \mathrm{~m}^{2} \). Quelles étaient les dimensions initiales du terrain?

Pour résoudre ce problème, nous allons d'abord poser les dimensions initiales du terrain. Soit \( l \) la longueur et \( w \) la largeur du terrain. On sait que le périmètre d'un rectangle est donné par \( P = 2l + 2w \). Donc, avec un périmètre de 110 m, nous avons : \[ 2l + 2w = 110 \] \[ l + w = 55 \] D'autre part, après modification, la nouvelle longueur est \( l - 1 \) et la nouvelle largeur est \( w + 1 \). L'aire initiale est \( A = l \times w \) et l'aire après modification est \( A' = (l - 1)(w + 1) \). Selon l'énoncé, l'aire augmente de \( 4 \mathrm{~m}^{2} \), donc : \[ A' = A + 4 \] \[ (l - 1)(w + 1) = lw + 4 \] En développant et simplifiant cette équation, on obtient : \[ lw + l - w - 1 = lw + 4 \] \[ l - w - 1 = 4 \] \[ l - w = 5 \] Nous avons maintenant deux équations : 1. \( l + w = 55 \) 2. \( l - w = 5 \) Pour résoudre ce système, nous allons ajouter les deux équations : \[ (l + w) + (l - w) = 55 + 5 \] \[ 2l = 60 \] \[ l = 30 \] En remplaçant \( l \) dans la première équation : \[ 30 + w = 55 \] \[ w = 25 \] Les dimensions initiales du terrain étaient donc 30 m de longueur et 25 m de largeur.