\( ( 3 x ^ { 4 } - x ^ { 5 } + 6 x ) \cdot . ( - 3 x + 9 x ^ { 5 } - 6 x ^ { 4 } ) \)

Consideremos la expresión \[ (3x^4 - x^5 + 6x)(-3x + 9x^5 - 6x^4). \] Procederemos a multiplicar cada término del primer paréntesis por cada término del segundo. **Paso 1. Multiplicar \(3x^4\) por cada término del segundo paréntesis:** - \(3x^4 \cdot (-3x) = -9x^{5}\). - \(3x^4 \cdot (9x^5) = 27x^{9}\). - \(3x^4 \cdot (-6x^4) = -18x^{8}\). **Paso 2. Multiplicar \(-x^5\) por cada término del segundo paréntesis:** - \(-x^5 \cdot (-3x) = 3x^{6}\). - \(-x^5 \cdot (9x^5) = -9x^{10}\). - \(-x^5 \cdot (-6x^4) = 6x^{9}\). **Paso 3. Multiplicar \(6x\) por cada término del segundo paréntesis:** - \(6x \cdot (-3x) = -18x^2\). - \(6x \cdot (9x^5) = 54x^6\). - \(6x \cdot (-6x^4) = -36x^5\). **Paso 4. Sumar los términos semejantes** Reunimos los términos obtenidos: - Términos con \(x^{10}\): \[ -9x^{10}. \] - Términos con \(x^9\): \[ 27x^{9} + 6x^{9} = 33x^{9}. \] - Términos con \(x^8\): \[ -18x^{8}. \] - Términos con \(x^6\): \[ 3x^{6} + 54x^{6} = 57x^{6}. \] - Términos con \(x^5\): \[ -9x^{5} - 36x^{5} = -45x^{5}. \] - Términos con \(x^2\): \[ -18x^2. \] **Paso 5. Escribir el resultado final** La multiplicación completa se simplifica a: \[ -9x^{10} + 33x^{9} - 18x^{8} + 57x^{6} - 45x^{5} - 18x^2. \]