3. กำหนดให้ \( \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right] \) จงหาค่าของ \( \left|\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right| \)

เพื่อหาค่าของ \( \left|\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right| \) ให้เรากำหนดให้ \( A = \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right] \) และ \( C = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right] \) แล้วให้ \( B = \left[\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right] \) จากสมการ \( A B C = \left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right] \) เราต้องหาค่า \( B \) เริ่มแรกให้เราหาค่า \( D = A B \) โดยเราจะใช้วิธีการย้อนกลับ: 1. คำนวณ \( C^{-1} \) (อินเวิร์สของ C): \[ C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \text{adj}(C) = \frac{1}{(1)(2) - (2)(2)} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \text{undefined} \] แต่เราไม่สามารถหาค่า \( C^{-1} \) ได้ในที่นี้ เนื่องจาก \( C \) ไม่มีอินเวิร์ส (det = -2) 2. เปลี่ยนวิธีคำนวณ เราจะลองหาค่า \( B \) โดยการตั้งสมการ: \[ D C = \left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right] \] เราต้องหาค่า \( B \) ดังนั้นให้คูณสเกลาร์ \( C \) กับต้นแบบสมการ 3. สมการนี้ لا يعطي عوائد مباشرة جدا لنرجع لاستخدام العلاقات بين الأعداد. 4. เมื่อเราคิดทฤษฎีที่เสถียรขึ้น เช่นเข้าใจความเป็นไปได้ของ det เรากำลังค้นหาค่าของ det(B) = det(B) = det(C^{-1})det(D) เบื้องหลังคือ det(A) * det(B) * det(C) = det(RHS) ดังนั้นให้ลองคำนวณ det ได้ 5. ค่าของ det(A): \[ det(A) = 2*5 - 3*4 = 10 - 12 = -2 \] 6. ค่าของ det(C): \[ det(C) = 1*2 - 2*2 = 2 - 4 = -2 \] 7. ค่าของ det(RHS): \[ RHS = 4*2 - 2*1 = 8 - 2 = 6 \] จากที่กล่าวไปแล้ว ได้เป็น: \[ det(A)det(B)det(C) = det(RHS) -2 \cdot det(B) \cdot -2 = 6 4 \cdot det(B) = 6 det(B) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] คำตอบของ \( \left|\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right| \) คือ \( \frac{3}{2} \)