\( \left. \begin{array} { c } { D x + D ^ { 2 } y = e ^ { 3 t } } \\ { ( D + 1 ) x + ( D - 1 ) y = 4 e ^ { 3 t } } \end{array} \right. \)

Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales: \[ \begin{cases} D x + D^{2} y = e^{3 t} \\ (D + 1) x + (D - 1) y = 4 e^{3 t} \end{cases} \] donde \( D \) representa la derivada respecto al tiempo \( t \), seguimos los siguientes pasos: ### 1. Expresión de las Ecuaciones Primero, interpretamos las operaciones: 1. **Primera Ecuación:** \[ \frac{dx}{dt} + \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = e^{3t} \] 2. **Segunda Ecuación:** \[ \left(\frac{d}{dt} + 1\right) x + \left(\frac{d}{dt} - 1\right) y = 4 e^{3t} \\ \Rightarrow \frac{dx}{dt} + x + \frac{dy}{dt} - y = 4 e^{3t} \] ### 2. Eliminación de \( \frac{dx}{dt} \) Restamos la segunda ecuación de la primera para eliminar \( \frac{dx}{dt} \): \[ \left( \frac{dx}{dt} + \frac{d^{2}y}{dt^{2}} \right) - \left( \frac{dx}{dt} + x + \frac{dy}{dt} - y \right) = e^{3t} - 4 e^{3t} \] Simplificando: \[ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} - \frac{dy}{dt} + y - x = -3 e^{3t} \quad \text{(Ecuación 3)} \] ### 3. Expresión de \( x \) en Términos de \( y \) De la segunda ecuación: \[ \frac{dx}{dt} = 4 e^{3t} - x - \frac{dy}{dt} + y \] Y de la primera ecuación: \[ \frac{dx}{dt} = e^{3t} - \frac{d^{2}y}{dt^{2}} \] Igualando ambas expresiones para \( \frac{dx}{dt} \): \[ e^{3t} - \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = 4 e^{3t} - x - \frac{dy}{dt} + y \] Despejando \( x \): \[ x = \frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 3 e^{3t} - \frac{dy}{dt} + y \quad \text{(Ecuación 4)} \] ### 4. Sustitución para Obtener una Ecuación de Orden Superior Sustituyendo \( x \) de la Ecuación 4 en la Ecuación 1: \[ \frac{d^{3}y}{dt^{3}} + \frac{dy}{dt} = -8 e^{3t} \] ### 5. Resolución de la Ecuación Diferencial de Tercer Orden **Ecuación Homogénea:** La ecuación característica es \( r^3 + r = 0 \), cuyas raíces son \( r = 0, \, r = i, \, r = -i \). Por lo tanto, la solución homogénea es: \[ y_h = C_1 + C_2 \cos(t) + C_3 \sin(t) \] **Solución Particular:** Buscamos una solución particular de la forma \( y_p = A e^{3t} \). Derivando y sustituyendo en la ecuación: \[ 27 A e^{3t} + 3 A e^{3t} = -8 e^{3t} \Rightarrow A = -\frac{4}{15} \] Por lo tanto, la solución particular es: \[ y_p = -\frac{4}{15} e^{3t} \] **Solución General de \( y(t) \):** \[ y(t) = C_1 + C_2 \cos(t) + C_3 \sin(t) - \frac{4}{15} e^{3t} \] ### 6. Determinación de \( x(t) \) Usando la Ecuación 4: \[ x(t) = \frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 3 e^{3t} - \frac{dy}{dt} + y \] Calculando las derivadas: \[ \frac{dy}{dt} = -C_2 \sin(t) + C_3 \cos(t) - \frac{4}{5} e^{3t} \] \[ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = -C_2 \cos(t) - C_3 \sin(t) - \frac{12}{5} e^{3t} \] Sustituyendo en \( x(t) \): \[ x(t) = -C_2 \cos(t) - C_3 \sin(t) - \frac{12}{5} e^{3t} + 3 e^{3t} + C_2 \sin(t) - C_3 \cos(t) + \frac{4}{5} e^{3t} + C_1 + C_2 \cos(t) + C_3 \sin(t) - \frac{4}{15} e^{3t} \] Simplificando términos: \[ x(t) = C_1 + C_2 \sin(t) - C_3 \cos(t) + \frac{17}{15} e^{3t} \] ### 7. Solución Final Las soluciones generales para \( x(t) \) y \( y(t) \) son: \[ \begin{cases} y(t) = C_1 + C_2 \cos(t) + C_3 \sin(t) - \dfrac{4}{15} e^{3t} \\ x(t) = C_1 + C_2 \sin(t) - C_3 \cos(t) + \dfrac{17}{15} e^{3t} \end{cases} \] donde \( C_1, C_2, C_3 \) son constantes de integración determinadas por las condiciones iniciales del problema.