Calcular " $$ E $$ " y dar como respuesta la suma de sus cifras. $$ E=\frac{(333 \ldots 333)^{2}}{200 \text { cifras }} $$ $$ \begin{array}{lll}\text { a) } 900 & \text { b) } 1200 & \text { c) } 1800 \ \text { d) } 2700 & \text { e) } 9990 & \end{array} $$

Question

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Sea 
$$
N=\underbrace{33\ldots 3}_{200 \text{ cifras}},
$$
el número formado por 200 dígitos “3”. Observamos que podemos escribir
$$
N=3\left(\frac{10^{200}-1}{9}\right),
$$
ya que $$\frac{10^{200}-1}{9}$$ es el número formado por 200 dígitos “1”.

Procedemos a calcular el cuadrado:
$$
N^2= \left[3\left(\frac{10^{200}-1}{9}\right)\right]^2 = 9\left(\frac{10^{200}-1}{9}\right)^2 = \frac{(10^{200}-1)^2}{9}.
$$

Se pide la suma de las cifras de $$N^2$$. Notemos que para números formados con dígitos repetidos se observa la siguiente recurrencia en ejemplos pequeños:

- Para $$N=3$$ (un dígito): 
  $$
  3^2=9 \quad\text{y}\quad 9=9\cdot1.
  $$
- Para $$N=33$$ (dos dígitos):
  $$
  33^2=1089 \quad\text{y}\quad 1+0+8+9=18=9\cdot2.
  $$
- Para $$N=333$$ (tres dígitos):
  $$
  333^2=110889 \quad\text{y}\quad 1+1+0+8+8+9=27=9\cdot3.
  $$

Esta propiedad muestra que al elevar al cuadrado un número de $$n$$ cifras constantes “3” se obtiene un número cuyas cifras suman $$9n$$.

Aplicando este resultado para $$n=200$$ se tiene:
$$
\text{Suma de las cifras} = 9\times 200 = 1800.
$$

Por lo tanto, la respuesta es:

c) $$1800$$.
La suma de las cifras de $$ E $$ es 1800.

Calcular " " y dar como respuesta la suma de
sus cifras.

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Calcular " " y dar como respuesta la suma de sus cifras.