¿Cuál es la ecuación de la parábola? Seleccione una: a. $$ y 2+8 x-18 y+84=0 $$ b. $$ y 2+12 x-6 y-123=0 $$ C. $$ y 2+4 x-18 y+145=0 $$ d. $$ x 2+12 x-6 y-123=0 $$ e. $$ y 2-8 x+36 y-2=0 $$ f. $$ x 2-12 x+6 y-2=0 $$

Question

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Analicemos las opciones observando que para representar una parábola en la forma general

$$
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
$$

se requiere que solo una de las dos variables tenga término cuadrático. En las opciones se observa lo siguiente:

- La opción a tiene $$y^2$$ y no tiene $$x^2$$.
- La opción b tiene $$y^2$$ y no tiene $$x^2$$.
- La opción c tiene $$y^2$$ y no tiene $$x^2$$.
- La opción d tiene $$x^2$$ y no tiene $$y^2$$.
- La opción e tiene $$y^2$$ y no tiene $$x^2$$.
- La opción f tiene $$x^2$$ y no tiene $$y^2$$.

Por lo tanto, todas representan parábolas. Sin embargo, se busca la ecuación de una parábola que esté escrita de forma que, al completar el cuadrado, quede en la forma canónica

$$
(y-k)^2=4p(x-h)
$$

Vamos a revisar la opción c:

La opción c es

$$
y^2+4x-18y+145=0.
$$

Procedemos a completarle el cuadrado en $$y$$:

1. Reorganizamos los términos que involucran a $$y$$:

$$
y^2 - 18y + 4x + 145=0.
$$

2. Separamos la parte cuadrática en $$y$$:

$$
y^2 - 18y = -4x -145.
$$

3. Calculamos el término para completar el cuadrado. Como $$\frac{18}{2}=9$$, sumamos y restamos $$9^2=81$$:

$$
y^2 -18y + 81 = -4x -145 + 81.
$$

4. Escribimos el cuadrado perfecto:

$$
(y-9)^2 = -4x -64.
$$

5. Despejamos $$x$$ o lo dejamos en forma canónica:

$$
(y-9)^2 = -4(x+16).
$$

De esta forma la ecuación está en la forma canónica $$(y-k)^2=4p(x-h)$$ con $$k=9$$, $$h=-16$$ y $$4p=-4$$ (de donde $$p=-1$$). Esta forma indica claramente que se trata de una parábola con vértice en $$(-16,9)$$ y que se abre hacia la izquierda.

Por lo tanto, la ecuación de la parábola correcta es la opción c:

$$
y^2+4x-18y+145=0.
$$
La ecuación de la parábola es $$ y^2 + 4x - 18y + 145 = 0 $$.

¿Cuál es la ecuación de la parábola?

Seleccione una:
a.
b.
C.
d.
e.
f.

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