4. \( \quad 2 x-x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{4}}+3 x^{\frac{1}{4}}-2 \) entre \( x^{\frac{1}{4}}-x^{-\frac{1}{4}}+1 \)
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Para resolver la expresión \( \frac{2x - x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 3x^{\frac{1}{4}} - 2}{x^{\frac{1}{4}} - x^{-\frac{1}{4}} + 1} \), primero simplifiquemos tanto el numerador como el denominador. Comencemos por el denominador. El denominador \( x^{\frac{1}{4}} - x^{-\frac{1}{4}} + 1 \) se puede reescribir como: \[ x^{\frac{1}{4}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} + 1 = x^{\frac{1}{4}} + 1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \] Multiplicando todos los términos del denominador por \( x^{\frac{1}{4}} \) para eliminar el término con exponente negativo: \[ xx^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} - 1 = x^{\frac{5}{4}} + x^{\frac{1}{4}} - 1 \] 16. Ahora veamos el numerador. La expresión \( 2x - x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 3x^{\frac{1}{4}} - 2 \) todavía puede refinársele, pero ya tiene una forma bastante lógica como resultado. Finalmente, dividiendo ambos términos, tenemos que verificar que \( x \) cumple una condición válida que mantenga el denominador diferente de cero. Este análisis asegura que la función esté definida y que el resultado sea útil. Esto nos llevará a simplificar, probablemente utilizando valores como \( x = 1 \) o \( x = 0 \) para ver el comportamiento de la función.
