254 Determina il punto $$ P $$ dell'asse $$ y $$ che forma con $$ A(2,-3) $$ e $$ B(4,2) $$ un triangolo isoscele sulla base $$ A B $$.

Question

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Per determinare il punto $$ P $$ sull'asse $$ y $$ che forma con i punti $$ A(2, -3) $$ e $$ B(4, 2) $$ un triangolo isoscele avendo $$ AB $$ come base, seguiamo i seguenti passaggi:

1. **Coordinate di $$ P $$:**
   Poiché $$ P $$ si trova sull'asse $$ y $$, le sue coordinate sono $$ P(0, y) $$.

2. **Calcolo delle distanze $$ PA $$ e $$ PB $$:**
   - Distanza tra $$ P $$ e $$ A $$:
     $$
     PA = \sqrt{(0 - 2)^2 + (y - (-3))^2} = \sqrt{4 + (y + 3)^2}
     $$
   - Distanza tra $$ P $$ e $$ B $$:
     $$
     PB = \sqrt{(0 - 4)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{16 + (y - 2)^2}
     $$

3. **Condizione di isoscelità:**
   Perché il triangolo sia isoscele con base $$ AB $$, le due lati $$ PA $$ e $$ PB $$ devono essere congruenti:
   $$
   PA = PB
   $$
   Quindi:
   $$
   \sqrt{4 + (y + 3)^2} = \sqrt{16 + (y - 2)^2}
   $$

4. **Risoluzione dell'equazione:**
   Eleviamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione per eliminare le radici:
   $$
   4 + (y + 3)^2 = 16 + (y - 2)^2
   $$
   Espandiamo i quadrati:
   $$
   4 + y^2 + 6y + 9 = 16 + y^2 - 4y + 4
   $$
   Semplifichiamo:
   $$
   13 + 6y = 20 - 4y
   $$
   Portiamo tutte le $$ y $$ da un lato e i termini costanti dall'altro:
   $$
   10y = 7
   $$
   Dividiamo per 10:
   $$
   y = \frac{7}{10} = 0{,}7
   $$

5. **Conclusione:**
   Il punto $$ P $$ sull'asse $$ y $$ che soddisfa le condizioni è:
   $$
   P(0, \, 0{,}7)
   $$
Il punto $$ P $$ sull'asse $$ y $$ che forma un triangolo isoscele con $$ A(2, -3) $$ e $$ B(4, 2) $$ sulla base $$ AB $$ è $$ P(0, 0{,}7) $$.

254 Determina il punto \( P \) dell'asse \( y \) che forma con \( A(2,-3) \) e \( B(4,2) \) un triangolo isoscele sulla base \( A B \).

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