برای تابع برداری \( \textbf{F}(t) = \langle \sin(t), e^{t} \rangle \)، طول مسیر را از \( t=0 \) تا \( t=\pi \) محاسبه کنید.

برای محاسبه طول مسیر تابع برداری \( \textbf{F}(t) = \langle \sin(t), e^{t} \rangle \) از \( t=0 \) تا \( t=\pi \)، ابتدا باید مشتق تابع برداری را محاسبه کنیم: \[ \textbf{F}'(t) = \left\langle \frac{d}{dt} \sin(t), \frac{d}{dt} e^{t} \right\rangle = \langle \cos(t), e^{t} \rangle. \] سپس، طول مسیر را با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌کنیم: \[ L = \int_{a}^{b} \| \textbf{F}'(t) \| \, dt = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\cos^2(t) + (e^{t})^2} \, dt. \] اکنون باید مقدار \( \| \textbf{F}'(t) \| \) را محاسبه کنیم: \[ \| \textbf{F}'(t) \| = \sqrt{\cos^2(t) + e^{2t}}. \] در مرحله بعد، باید انتگرال زیر را محاسبه کنیم: \[ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\cos^2(t) + e^{2t}} \, dt. \] این انتگرال را می‌توان به صورت عددی یا با استفاده از نرم‌افزارهای ریاضی مانند Mathematica یا MATLAB محاسبه کرد. برای محاسبه عددی، می‌توانیم از روش‌های عددی مانند روش سمپسون یا قوانین دیگر انتگرال‌گیری عددی استفاده کنیم تا طول مسیر را به دست آوریم.