Oppgave 9 Sondre har laget denne algoritmen for å finne tilnærmet verdi for kvadratroten av et tall \( a \) : 1. Bestem det største kvadrattallet som er mindre enn eller lik \( a \). 2. Bestem tallet \( b \), som er kvadratroten av kvadrattallet i punkt 1 . 3. Bestem tallet \( c \), som er differansen mellom \( a \) og kvadrattallet i punkt 1 . 4. Beregn \( b+\frac{c}{2 b} \). Vis hvordan du bruker algoritmen til å finne en tilnærmet verdi for \( \sqrt{89} \). Sammenlikn med tilnærmingsverdien du får med kalkulator (CAS).

1. Finn det største kvadrattallet som er mindre enn eller lik \( a = 89 \). Det største kvadrattallet er \( 81 \) (siden \( 9^2 = 81 \) og \( 10^2 = 100 > 89 \)). 2. Bestem \( b \) som er kvadratroten av \( 81 \): \[ b = \sqrt{81} = 9. \] 3. Finn \( c \), differansen mellom \( a \) og \( 81 \): \[ c = 89 - 81 = 8. \] 4. Beregn uttrykket \( b + \frac{c}{2b} \): \[ b + \frac{c}{2b} = 9 + \frac{8}{2 \cdot 9} = 9 + \frac{8}{18} = 9 + \frac{4}{9}. \] Vi finner at: \[ \frac{4}{9} \approx 0.444. \] Dermed blir tilnærmingen: \[ 9 + 0.444 \approx 9.444. \] Til sammenligning viser en kalkulator (CAS) at \[ \sqrt{89} \approx 9.433, \] noe som indikerer at algoritmens tilnærmede verdi \( 9.444 \) er ganske nær, men litt over den eksakte verdien.