2. Вычислите площадь параллелограмма, постро- нного на векторах \( \vec{a}=(0 ; 2 ; 1) \) и \( \vec{b}=(1 ; 0 ; 2) \) \( \begin{array}{ll}\text { A) } \sqrt{23} & \text { D) } 5 \\ \text { B) } \sqrt{21} & \text { E) } \sqrt{17} \\ \text { C) } 21 & \end{array} \)

Чтобы вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), нужно использовать формулу: \[ S = \|\vec{a} \times \vec{b}\| \] где \( \vec{a} \times \vec{b} \) — векторное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), а \( \|\cdot\| \) — норма (длина) вектора. Давайте сначала найдем векторное произведение \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Векторы: \[ \vec{a} = (0, 2, 1) \] \[ \vec{b} = (1, 0, 2) \] Векторное произведение \( \vec{a} \times \vec{b} \) можно вычислить по формуле: \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \] Теперь вычислим определитель: \[ \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \] Теперь вычислим каждый из определителей: 1. \( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (1 \cdot 0) = 4 \) 2. \( \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = -1 \) 3. \( \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0) - (2 \cdot 1) = -2 \) Теперь подставим эти значения в формулу: \[ \vec{a} \times \vec{b} = 4\hat{i} - (-1)\hat{j} - 2\hat{k} = 4\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k} \] Таким образом, векторное произведение: \[ \vec{a} \times \vec{b} = (4, 1, -2) \] Теперь найдем длину этого вектора: \[ \|\vec{a} \times \vec{b}\| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \] Следовательно, площадь параллелограмма равна: \[ S = \sqrt{21} \] Таким образом, правильный ответ — **B) \( \sqrt{21} \)**.