\( f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { e ^ { x } } { e ^ { x } - 5 } d x \)

Sea \[ f(x)=\int_{0}^{1}\frac{e^x}{e^x-5}\,dx. \] Observamos que la variable de integración es \(x\) y, por tanto, \(f(x)\) es en realidad una constante. Para resolver la integral se procede con el siguiente cambio de variable: 1. Se toma \[ u=e^x, \] de donde se tiene que \[ du=e^x\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{e^x}=\frac{du}{u}. \] 2. Se cambian los límites de integración. Cuando \(x=0\), \(u=e^0=1\); cuando \(x=1\), \(u=e^1=e\). 3. La integral se transforma: \[ \int_{0}^{1}\frac{e^x}{e^x-5}\,dx=\int_{u=1}^{u=e}\frac{u}{u-5}\cdot\frac{du}{u} =\int_{1}^{e}\frac{1}{u-5}\,du. \] 4. Se evalúa la integral \[ \int\frac{1}{u-5}\,du=\ln\left|u-5\right|+C. \] 5. Al evaluar desde \(u=1\) hasta \(u=e\): \[ f(x)=\ln\left|e-5\right|-\ln\left|1-5\right|. \] Observando que \[ 1-5=-4 \quad\Rightarrow\quad \left|1-5\right|=4, \] y notando que \(e<5\) (puesto que \(e\approx2.718\)), se tiene \[ \left|e-5\right|=5-e. \] Por lo tanto, \[ f(x)=\ln\left(\frac{5-e}{4}\right). \] La respuesta final es: \[ f(x)=\ln\left(\frac{5-e}{4}\right). \]