ข้อ 3 การนำความร้อนที่สภาวะคงที่ \( (15 \) คะแนน) 3. เสื้อกันหนาวในปัจจุบันจะมีน้ำหนักเบา เนื่องจากทำด้วยวัสดุใยสังเคราะห์ที่บาง ซึ่งแต่ละชั้นของวัสดุใย สังเคราะห์จะมีช่องว่างของอากาศแทรกอยู่ นิยมใช้ในเมืองหนาว หรือสวมใส่เพื่อเล่นสกี ปัจจุบันประเทศ ไทยก็เป็นผู้ผลิตและส่งออกให้สำหรับแบรนด์หลายยี่ห้อ พิจารณาแจ็คเก็ตตัวหนึ่งที่ทำด้วยผ้าเทติก \( (\mathrm{k} \) \( \left.=0.13 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \) มีความหนาค่าหนึ่ง \( (\mathrm{L}) \) ทั้งหมด 5 ชั้น โดยระหว่างชั้นผ้าเทติกมีช่องว่างของอากาศแทรก อยู่หนา 1.5 มม. ( k ของอากาศ= \( \left.0.026 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \) สมมติว่าภายในอุณหภูมิพื้นผิวของแจ็คเก็ต \( 28^{\circ} \mathrm{C} \) และ พื้นผิวมีพื้นที่เท่ากับ \( 1.1 \mathrm{~m}^{2} \) เมื่ออุณหภูมิกลางแจ้ง \( 5^{\circ} \mathrm{C} \) และค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนที่พื้นผิว ด้านนอกคือ \( 25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} \) โดยความหนาของผ้าเทติกที่ใช้ในแต่ละชั้นเท่ากันคือ L จงหาความหนาของผ้า เทติกเมื่ออัตราการถ่ายโอนความร้อน \( (\dot{\mathrm{Q}} \) ) จากพื้นผิวด้านในของแจ็คเก็ตสู่อุณหภูมิกลางแจ้งเท่ากับ 132.3 W

ในการหาความหนาของผ้าเทติก \( L \) เราจะใช้หลักการของการถ่ายเทความร้อนในสภาวะคงที่ โดยใช้กฎของฟูริเยร์ (Fourier's Law) ซึ่งบอกว่าอัตราการถ่ายโอนความร้อน \( \dot{Q} \) สามารถคำนวณได้จากสูตร: \[ \dot{Q} = \frac{k \cdot A \cdot \Delta T}{L} \] โดยที่: - \( \dot{Q} \) = อัตราการถ่ายโอนความร้อน (W) - \( k \) = สัมประสิทธิ์การนำความร้อน (W/m·°C) - \( A \) = พื้นที่ผิว (m²) - \( \Delta T \) = ความแตกต่างของอุณหภูมิ (°C) - \( L \) = ความหนาของวัสดุ (m) ในกรณีนี้ เรามีวัสดุ 5 ชั้น และระหว่างชั้นมีช่องว่างของอากาศ ดังนั้นเราจะต้องคำนวณความต้านทานการถ่ายเทความร้อนรวมของทั้ง 5 ชั้นและช่องว่างของอากาศ ### ขั้นตอนการคำนวณ 1. **คำนวณความแตกต่างของอุณหภูมิ \( \Delta T \)**: \[ \Delta T = T_{\text{inside}} - T_{\text{outside}} = 28 - 5 = 23 \, °C \] 2. **คำนวณความต้านทานการถ่ายเทความร้อนของแต่ละชั้น**: - สำหรับผ้าเทติก: \[ R_{\text{fabric}} = \frac{L}{k_{\text{fabric}}} = \frac{L}{0.13} \] - สำหรับช่องว่างของอากาศ (5 ช่อง): \[ R_{\text{air}} = \frac{L_{\text{air}}}{k_{\text{air}}} = \frac{0.0015}{0.026} \] 3. **คำนวณความต้านทานรวม**: \[ R_{\text{total}} = 5 \cdot R_{\text{fabric}} + R_{\text{air}} = 5 \cdot \frac{L}{0.13} + \frac{0.0015}{0.026} \] 4. **ใช้สูตรอัตราการถ่ายโอนความร้อน**: \[ \dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}} \] โดยที่ \( \dot{Q} = 132.3 \, W \) 5. **แทนค่าลงในสมการ**: \[ 132.3 = \frac{23}{5 \cdot \frac{L}{0.13} + \frac{0.0015}{0.026}} \] ### คำนวณหาค่าของ \( L \) เราจะใช้การคำนวณเพื่อหาค่าของ \( L \) โดยการจัดรูปสมการ: \[ R_{\text{total}} = \frac{23}{132.3} \] จากนั้นแทนค่าของ \( R_{\text{total}} \) ลงในสมการเพื่อหาค่า \( L \): \[ 5 \cdot \frac{L}{0.13} + \frac{0.0015}{0.026} = \frac{23}{132.3} \] เราจะคำนวณค่าต่าง ๆ และหาค่า \( L \) ต่อไป: 1. คำนวณ \( \frac{0.0015}{0.026} \) 2. คำนวณ \( \frac{23}{132.3} \) 3. แก้สมการเพื่อหาค่า \( L \) ให้ฉันคำนวณค่าต่าง ๆ เหล่านี้: Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{23}{132.3}\) - step1: Convert the expressions: \(\frac{23}{\frac{1323}{10}}\) - step2: Multiply by the reciprocal: \(23\times \frac{10}{1323}\) - step3: Multiply: \(\frac{23\times 10}{1323}\) - step4: Multiply: \(\frac{230}{1323}\) Calculate or simplify the expression \( 0.0015/0.026 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{0.0015}{0.026}\) - step1: Convert the expressions: \(\frac{\frac{3}{2000}}{\frac{13}{500}}\) - step2: Multiply by the reciprocal: \(\frac{3}{2000}\times \frac{500}{13}\) - step3: Reduce the numbers: \(\frac{3}{4}\times \frac{1}{13}\) - step4: Multiply the fractions: \(\frac{3}{4\times 13}\) - step5: Multiply: \(\frac{3}{52}\) จากการคำนวณที่ได้: 1. ค่าของ \( \frac{0.0015}{0.026} \) คือประมาณ \( 0.0577 \) 2. ค่าของ \( \frac{23}{132.3} \) คือประมาณ \( 0.1738 \) ### แทนค่าลงในสมการ เราจะใช้ค่าที่คำนวณได้เพื่อหาค่า \( L \): \[ 5 \cdot \frac{L}{0.13} + 0.0577 = 0.1738 \] ### แก้สมการเพื่อหาค่า \( L \) 1. ย้าย \( 0.0577 \) ไปทางขวา: \[ 5 \cdot \frac{L}{0.13} = 0.1738 - 0.0577 \] 2. คำนวณค่าฝั่งขวา: \[ 5 \cdot \frac{L}{0.13} = 0.1161 \] 3. แบ่งทั้งสองข้างด้วย 5: \[ \frac{L}{0.13} = \frac{0.1161}{5} \] 4. คำนวณค่าฝั่งขวา: \[ \frac{L}{0.13} = 0.02322 \] 5. คูณทั้งสองข้างด้วย 0.13 เพื่อหาค่า \( L \): \[ L = 0.02322 \cdot 0.13 \] ### คำนวณหาค่า \( L \) สุดท้าย ให้ฉันคำนวณค่าของ \( L \): Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(0.02322\times 0.13\) - step1: Multiply the numbers: \(0.0030186\) จากการคำนวณสุดท้าย ค่า \( L \) ที่ได้คือประมาณ \( 0.0030186 \, \text{m} \) หรือ \( 3.0186 \, \text{mm} \). ### สรุปผล ความหนาของผ้าเทติก \( L \) ที่ใช้ในแจ็คเก็ตคือประมาณ \( 3.02 \, \text{mm} \).