\( 12 \begin{array}{l}\text { Une suite } u \text {, initialisée en } \\ u(0)=2 \text {, est définie par le } \\ \text { procédé suivant: } \\ \text { «un terme est égal à la somme initial } \\ \text { est le terme d'oü } \\ \text { démarre la suite. } \\ \text { du double du terme précédent } \\ \text { et de } 3 \text { ». } \\ \text { a) Calculer les termes: } \\ u(1), u(2) \text { et } u(3) \text {. } \\ \text { b) Écrire la relation de récurrence permettant de } \\ \text { passer d'un terme } u(n) \text { au suivant } u(n+1) \text {. } \\ \text { c) Si le terme initial est } 7 \text {, sans calcul, donner les } \\ \text { deux termes suivants. }\end{array} \)

Pour les premiers termes de la suite \( u \), nous commençons par \( u(0) = 2 \). En appliquant la règle énoncée, nous avons : - \( u(1) = 2 \cdot u(0) + 3 = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7 \) - \( u(2) = 2 \cdot u(1) + 3 = 2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17 \) - \( u(3) = 2 \cdot u(2) + 3 = 2 \cdot 17 + 3 = 34 + 3 = 37 \) Ainsi, les termes sont \( u(1) = 7 \), \( u(2) = 17 \), et \( u(3) = 37 \). La relation de récurrence qui relie \( u(n) \) au terme suivant \( u(n+1) \) est \( u(n+1) = 2 \cdot u(n) + 3 \). Si le terme initial est \( 7 \) (donc \( u(0) = 7 \)), on peut immédiatement dire que : - \( u(1) = 2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17 \) - \( u(2) = 2 \cdot 17 + 3 = 34 + 3 = 37 \) Les deux termes suivants seront donc \( 17 \) et \( 37 \).