2 Maximale Rechtecke
a) Welche Abmessungen müssen die Seiten eines
Rechtecks mit dem Umfang 1 Meter haben,
damit die Rechtecksfläche maximal wird?
b) Untersuchen Sie, ob sich das Ergebnis aus a) auf
jedes beliebige Rechteck übertragen lässt.

a) Maximale Fläche eines Rechtecks mit Umfang 1 Meter

1. Bekannte Bedingungen:
   • Der Umfang eines Rechtecks ist gegeben durch die Formel: wobei die Länge und die Breite des Rechtecks ist.
   • In diesem Fall ist Meter.
2. Umformung der Umfangsformel:
   Daraus folgt:
3. Fläche des Rechtecks:
   Die Fläche des Rechtecks ist gegeben durch:
   Setzen wir aus der vorherigen Gleichung ein:
4. Maximierung der Fläche:
   Um die Fläche zu maximieren, nehmen wir die Ableitung von und setzen sie gleich null:
   Daraus folgt:
5. Berechnung der Breite:
   Setzen wir in die Gleichung für ein:
6. Ergebnis für a):
   Die Abmessungen des Rechtecks, die die Fläche maximieren, sind:
   Das bedeutet, dass das Rechteck ein Quadrat ist.

b) Übertragbarkeit des Ergebnisses

1. Allgemeine Überlegung:
   Bei einem gegebenen Umfang ist die Fläche eines Rechtecks maximal, wenn die Seiten gleich lang sind. Dies ist eine Eigenschaft von Quadraten.
2. Mathematische Begründung:
   Die Fläche eines Rechtecks ist ein Produkt der beiden Seiten. Bei festem Umfang führt die Gleichheit der Seiten (also ein Quadrat) zu einer maximalen Fläche, was durch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung oder durch die Anwendung der Lagrange-Multiplikatoren bewiesen werden kann.
3. Ergebnis für b):
   Ja, das Ergebnis lässt sich auf jedes beliebige Rechteck übertragen: Ein Rechteck hat die maximale Fläche bei gegebenem Umfang, wenn es ein Quadrat ist.

• a) Die Abmessungen sind Meter x Meter.
• b) Ja, das Ergebnis lässt sich auf jedes beliebige Rechteck übertragen.