46. $$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{19}+\sqrt{20}} $$ มีค่าตรงกับข้อใด $$ \begin{array}{lll} ext { ก. } 2 \sqrt{5}-\sqrt{2} & ext { ข. } 2 \sqrt{5}+\sqrt{2} & ext { ค. } \sqrt{5}+\sqrt{2}\end{array} $$

Question

46. $$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{19}+\sqrt{20}} $$ มีค่าตรงกับข้อใด $$ \begin{array}{lll}	ext { ก. } 2 \sqrt{5}-\sqrt{2} & 	ext { ข. } 2 \sqrt{5}+\sqrt{2} & 	ext { ค. } \sqrt{5}+\sqrt{2}\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

ให้เริ่มจากพิจารณาในแต่ละพจน์ทั่วไปของผลรวม

$$
\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}
$$

คูณเศษและส่วนด้วย $$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$ จะได้

$$
\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}
$$

เนื่องจาก $$(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2 = (n+1)-n=1$$

ดังนั้นผลรวมเต็มมีรูปแบบ

$$
\sum_{n=2}^{19} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \sum_{n=2}^{19} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)
$$

พจน์ในผลรวมจะมีการยกเลิกกันแบบ telescoping ดังนี้

$$
(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{4})+\ldots+(\sqrt{20}-\sqrt{19})
$$

จะเหลือเพียงพจน์แรกและพจน์สุดท้าย ดังนั้นผลรวมเท่ากับ

$$
\sqrt{20}-\sqrt{2}
$$

โดยที่

$$
\sqrt{20}=2\sqrt{5}
$$

จึงได้ว่า

$$
\sqrt{20}-\sqrt{2}=2\sqrt{5}-\sqrt{2}
$$

ซึ่งตรงกับตัวเลือก ก.
ผลรวมเท่ากับ $$ 2\sqrt{5} - \sqrt{2} $$, ซึ่งตรงกับตัวเลือก ก.

มีค่าตรงกับข้อใด
$ก ข ค$

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Pre Calculus Questions

มีค่าตรงกับข้อใด กขค